Алгебра Алберта

Алгебра Алберта (Альберта) — 27-мерная исключительная йорданова алгебра. Названа в честь Абрахама Адриана Альберта — пионера в изучении неассоцитивных алгебр, обычно рассматриваемых над действительными числам. Над действительными числами существуют три такие йордановы алгебры с точностью до изоморфизма. Одна из них была впервые найдена Паскуалем Йорданом, Джоном фон Нейманом и Юджином Вигнером (1934) и изучена Албертом (1934), является множеством самосопряжённых матриц 3×3 над октонионами, снабжённым бинарной операцией:

${\displaystyle x\circ y={\frac {1}{2}}(x\cdot y+y\cdot x)}$,

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает обычное матричное умножение. Вторая алгебра определяется похожим образом, но используя сплит-октонионы вместо октонионов. Последняя строится не из сплит-октонионов, с применением других стандартных инволюций.

Над алгебраически замкнутым полем существует только одна алгебра Алберта, и её группа автоморфизмов ${\displaystyle G}$ является простой расщепляемой группой типа ${\displaystyle F_{4}}$. (Например, комплексификация трёх алгебр Алберта над действительными числами изоморфна алгебре Алберта над комплексными числами.) Поэтому для общего поля ${\displaystyle F}$ алгебры Алберта классифицируются с помощью группы когомологий Галуа ${\displaystyle H_{1}(F,G)}$.

Конструкция Кантора — Кёхера — Титса, применённая к алгебре Алберта, даёт алгебру Ли ${\displaystyle E_{7}}$. Расщепляемая алгебра Алберта используется для построения 56-мерной структурируемой алгебры, группа автоморфизмов которой имеет единичную компоненту односвязной алгебраической группы типа ${\displaystyle E_{6}}$.

Пространство когомологических инвариантов алгебры Алберта поля ${\displaystyle F}$ (характеристики не 2) с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ является свободным модулем над кольцом когомологий ${\displaystyle F}$ с базисом, состоящим из 1, ${\displaystyle f_{3}}$, ${\displaystyle f_{5}}$ степеней 0, 3, 5 соответственно^[1]. Когомологические инварианты с коэффициентами 3-кручения имеют базис из 1, ${\displaystyle g_{3}}$ степеней 0, 3^{[2][уточнить]}. Инварианты ${\displaystyle f_{3}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ являются первичными компонентами инварианта Роста.

• Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism (англ.) // Ann. Math. — 1934. — Vol. 35, iss. 1. — P. 29—64. — doi:10.2307/1968117. — .
• Albert A. A. On a Certain Algebra of Quantum Mechanics (англ.) // Ann. Math, 2nd Series. — 1934. — Vol. 35, iss. 1. — P. 65—73. — doi:10.2307/1968118. — .
• Ширшов А. И., Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978. — 432 с.