Алгебра Пуассона

Алгебра Пуассона — это ассоциативная алгебра вместе со скобкой Ли, которая также удовлетворяет закону Лейбница; то есть скобка является дифференцированием. Алгебры Пуассона естественным образом возникают в гамильтоновой механике и играют центральную роль в изучении квантовых групп. Многообразия со структурой алгебры Пуассона известны как пуассоновы многообразия, частными случаями которых являются симплектические многообразия и группы Пуассона-Ли. Алгебра названа в честь Симеона Дени Пуассона.

Алгебра Пуассона — это векторное пространство над полем K, снабженное двумя билинейными произведениями ⋅ и {,}, обладающее следующими свойствами:

• Произведение ⋅ образует ассоциативную K-алгебру.
• Произведение {,}, называемое скобкой Пуассона, образует алгебру Ли, поэтому оно антисимметрично и подчиняется тождеству Якоби .
• Скобка Пуассона действует как дифференцирование ассоциативного произведения ⋅, так что для любых трех элементов x, y и z в алгебре имеем {x, y ⋅ z} = {x, y} ⋅ z + y ⋅ {x, z}.

Последнее свойство часто допускает различные формулировки (представления) структуры данной алгебры, как отмечено в приведённых ниже примерах.

Алгебры Пуассона встречаются в различных ситуациях.

Пространство гладких функций с действительными значениями над симплектическим многообразием образует алгебру Пуассона. На симплектическом многообразии каждая гладкая функция H индуцирует векторное поле X_H, гамильтоново векторное поле. Тогда для любых двух гладких функций F и G над симплектическим многообразием скобку Пуассона можно определить следующим образом:

${\displaystyle \{F,G\}=dG(X_{F})=X_{F}(G)\,}$.

Это определение отчасти последовательно, поскольку скобка Пуассона выступает в качестве вывода. Аналогично, скобку {,} можно определить как

${\displaystyle X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,}$

где [,] — производная Ли . Если симплектическое многообразие — это R2n со стандартной симплектической структурой, то скобка Пуассона принимает хорошо известный вид ^:

${\displaystyle \{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.}$

Аналогичные соображения применимы к пуассоновым многообразиям, которые обобщают симплектические многообразия, допуская, чтобы симплектический бивектор имел дефицит ранга.

Тензорная алгебра алгебры Ли обладает структурой алгебры Пуассона. Очень подробное построение этой структуры дано в статье об универсальных обёртывающих алгебрах .

Построение осуществляется путём сначала создания тензорной алгебры на underlying vector space (лежащем в основе векторном пространстве) алгебры Ли. Тензорная алгебра представляет собой просто дизъюнктное объединение (прямую сумму ⊕) всех тензорных произведений этого векторного пространства. Затем можно показать, что скобка Ли может быть согласованно поднята до всей тензорной алгебры: она подчиняется как закону произведения, так и тождеству Якоби скобки Пуассона и, таким образом, является скобкой Пуассона после поднятия. Пара произведений {,} и ⊗ образует алгебру Пуассона. Заметим, что ⊗ не является ни коммутативной, ни антикоммутативной: она просто ассоциативна.

Таким образом, мы имеем общее утверждение, что тензорная алгебра любой алгебры Ли является алгеброй Пуассона. Универсальная обёртывающая алгебра получается путём модификации структуры алгебры Пуассона.

Если A — ассоциативная алгебра, то применение коммутатора [ x, y ] = xy − yx превращает её в алгебру Пуассона (и, следовательно, также в алгебру Ли) A_L . Обратите внимание, что полученную A_L не следует путать с конструкцией тензорной алгебры, описанной в предыдущем разделе. При желании можно было бы применить и эту конструкцию, но это дало бы другую алгебру Пуассона, гораздо большую.

Для алгебры вершинных операторов (V, Y, ω, 1) пространство V/C₂(V) является алгеброй Пуассона с {a, b} = a₀b и a ⋅b = a₋₁b. Для некоторых алгебр вершинных операторов эти алгебры Пуассона конечномерны.

Алгебрам Пуассона можно задать Z₂-градуировку одним из двух способов. Эти два способа приводят к супералгебре Пуассона и алгебре Герстенхабера. Разница между ними заключается в градуировке самого произведения. Для супералгебры Пуассона градуировка задаётся следующим образом:

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|}$

тогда как в алгебре Герстенхабера скобка уменьшает оценку на единицу:

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|-1}$

В обоих этих выражениях ${\displaystyle |a|=\deg a}$ обозначает градуировку элемента ${\displaystyle a}$; обычно считается, как ${\displaystyle a}$ может быть разложена на чётное или нечётное произведение порождающих элементов. Алгебры Герстенхабера обычно встречаются в BRST-квантовании .

• Скобка Мояля
• Формула квантования Концевича

• Y. Kosmann-Schwarzbach (2001), Poisson algebra, in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics (англ.), Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bhaskara, K. H. Poisson algebras and Poisson manifolds / K. H. Bhaskara, K. Viswanath. — Longman, 1988. — ISBN 0-582-01989-3.