Алгебра (универсальная алгебра)

Алгебра (универсальная алгебра) — множество ${\displaystyle A}$, называемое носителем алгебры, снабжённое набором ${\displaystyle n}$-арных алгебраических операций на ${\displaystyle A}$, называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме — следующая универсализация теорем об изоморфизме: если ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow A'}$ — гомоморфизм алгебр, а ${\displaystyle \theta }$ — ядерная конгруэнция ${\displaystyle \varphi }$ (то есть ${\displaystyle \theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}}$), то факторалгебра ${\displaystyle A/\theta }$ изоморфна ${\displaystyle A'}$.

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {Aut} A}$, моноид эндоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {End} A}$, решётка подалгебр ${\displaystyle \mathbf {Sub} A}$, решётка конгруэнций ${\displaystyle \mathbf {Con} A}$, в частности, показано, что для любой группы ${\displaystyle G}$ и решёток ${\displaystyle L_{0}}$ и ${\displaystyle L_{1}}$ существует такая универсальная алгебра ${\displaystyle A}$, что ${\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} A}$, ${\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} A}$, ${\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} A}$.

Алгебра с одной бинарной операцией называется магмой.

• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Л. А. Скорняков. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — 1248 стб. : ил. — 147 300 экз.— Перевод на английский: Universal_algebra . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.