Анализ ошибок

Анализ ошибок — это изучение вида и количества ошибок или неопределенности, которые могут присутствовать в решении задачи. Эта проблема особенно актуальна в прикладных областях, таких как численные методы и статистика.

При численном моделировании или имитации реальных систем анализ погрешностей занимается изучением изменений выходных данных модели при варьировании её параметров относительно средних значений.

Например, в системе, моделируемой как функция двух переменных ${\displaystyle z\,=\,f(x,y)}$, анализ ошибок рассматривает распространение численных отклонений ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ (от средних значений ${\displaystyle {\bar {x}}}$ и ${\displaystyle {\bar {y}}}$) в отклонение значения ${\displaystyle z}$ (от среднего ${\displaystyle {\bar {z}}}$)^[1].

В численных методах анализ погрешностей включает как прямой, так и обратный анализ ошибок.

Пусть имеется задача вычисления некоторой функции ${\displaystyle Z=f(A)}$, где A и Z являются элементами некоторых нормированных пространств. Прямой анализ ошибок анализирует функцию ${\displaystyle Z'=f'(A)}$, которая является аппроксимацией (обычно конечным многочленом) функции ${\displaystyle Z=f(A)}$, чтобы определить границы ошибки при такой аппроксимации, то есть, найти такой ${\displaystyle \epsilon }$, что ${\displaystyle 0\,\leqslant \,\|Z-Z'\|\,\leqslant \,\epsilon }$. Можно понимать функцию ${\displaystyle f'}$ как реализацию функции ${\displaystyle f}$ на компьютере, при которой вследствие отличий машинной арифметики, значения функции будут отличаться от истинных значений. Оценка прямых ошибок желательна в интервальной арифметике^[2][3].

Можно рассматривать результат работы алгоритма ${\displaystyle Z'=f'(A)}$ как результат работы точного алгоритма с «возмущёнными» входными данными ${\displaystyle A+{\vartriangle }A}$. Если это возможно и ${\displaystyle \|{\vartriangle }A\|}$ мало́, то алгоритм называют обратно устойчивым, при этом ${\displaystyle {\vartriangle }A}$ называется эквивалентным возмущением, или обратной ошибкой. Исследование эквивалентного возмущения называется обратным анализом ошибок^[4][5]

Обратный анализ ошибок, теория которого была разработана и популяризирована Джеймсом Харди Уилкинсоном, может быть использована для установления, что алгоритм, реализующий функцию, численно устойчив^[6]. Основной подход заключается в том, чтобы показать, что, хотя полученный результат из-за ошибок округления не будет абсолютно точным, он является точным решением близкой задачи с незначительно возмущенными входными данными. Если требуемое возмущение мало, порядка неопределенности во входных данных, то результаты в некотором смысле настолько точны, насколько доверия «заслуживают» данные. Такой алгоритм затем определяется как обратно устойчивый. Устойчивость является мерой чувствительности к ошибкам округления данной численной процедуры. Напротив, число обусловленности функции для данной задачи указывает на присущую функции чувствительность к малым возмущениям входных данных и не зависит от реализации, используемой для решения задачи^[7][8].

Анализ погрешностей, вычисляемых с помощью глобальной системы позиционирования, важен для понимания принципов работы GPS и определения ожидаемых величин ошибок. Система глобального позиционирования вносит поправки на ошибки часов приёмника и другие факторы, однако остаются остаточные погрешности, которые не устраняются. GPS была создана Министерством обороны США (англ. United States Department of Defense, DOD) в 1970-х годах. Она получила широкое распространение для навигации как среди военных США, так и среди гражданского населения.

В моделировании молекулярной динамики (МД) имеются ошибки вследствие неудовлетворительной выборки фазового пространства или редко происходящих событий, что приводит к статистической ошибке из-за случайных колебаний при измерении.

Для серии M измерений изменчивого свойства A среднее значение равно:

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.}$$

Если эти измерения M независимы, дисперсия среднего ${\displaystyle \langle A\rangle }$ равна:

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),}$$

но в большинстве моделирований МД, существует корреляция между значением A в различное время, так что дисперсия среднего ${\displaystyle \langle A\rangle }$ будет занижена, поскольку эффективное число независимых измерений на самом деле меньше, чем M. В таких ситуациях мы переписываем дисперсию следующим образом:

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],}$$

где ${\displaystyle \phi _{\mu }}$ является автокорреляционной функцией, определяемой как

$${\displaystyle \phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.}$$

Мы теперь можем использовать автокорреляционную функцию для оценки разброса. К счастью, у нас есть гораздо более простой метод, основанный на блочном усреднении^[9].

Измерения обычно содержат небольшую погрешность, и повторные измерения одного и того же объекта, как правило, дают незначительные различия в показаниях. Эти различия можно проанализировать, и они подчиняются определенным известным математическим и статистическим свойствам. Если набор данных кажется слишком точно соответствующим гипотезе, то есть отсутствует обычная для таких измерений погрешность, можно сделать вывод, что данные могли быть подделаны. Анализ погрешностей сам по себе, как правило, недостаточен для доказательства фальсификации или фабрикации данных, но он может предоставить подтверждающие доказательства, необходимые для подтверждения подозрений в недобросовестности.

• Анализ ошибок (лингвистика)
• Усы (на графике)
• Ошибки и остатки в статистике
• Распространение неопределённости

• [1] All about error analysis.