Бикватернионная формула Остроградского — Гаусса

Формула Остроградского — Гаусса может быть расширена на неевклидово пространство Минковского. Такое обобщение оказывается в частности полезным для решения определённых задач специальной теории относительности и электродинамики, где пространство Минковского соответствует пространству-времени. Формулы, дающие это обобщение, могут быть получены с помощью кватернионного и бикватернионного аппаратов, тесно связанных с релятивистской механикой. Обычная Формула Остроградского-Гаусса, а также теорема Стокса представляют собой различные типы сужения бикватернионной формулы Остроградского-Гаусса.

Кватернионные формулы

Для кватернионных функций $f(Q)$ кватернионного аргумента $Q=(t,{\mathbf {r}}),\ {\mathbf {r}}=(x,y,z)$ , непрерывно дифференцируемых по каждой из координат $t,x,y,z$ внутри некоторой области $V_{4}$ псевдоевклидова кватернионного пространства и на его границе $S_{3}=\partial V_{4}$ , имеют место формулы типа Остроградского-Гаусса^[1]^[2]:

\oint _{S_{3}}f\ dQ=\int _{V_{4}}f{\hat {D}}\ dV_{4}

\oint _{S_{3}}dQ\ f=\int _{V_{4}}{\hat {D}}f\ dV_{4},

где ${\hat {D}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathbf {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\mathbf {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}$ , $Q=t+{\mathbf {i}}x+{\mathbf {j}}y+{\mathbf {k}}z$ , ${\mathbf {i}},{\mathbf {j}},{\mathbf {k}}$ — базисные кватернионы, . В первой из этих формул оператор ${\hat {D}}$ действует влево от себя, а во второй — вправо от себя.

Бикватернионные формулы для одной функции

Аналогично приведённым выше кватернионным формулам имеют место формулы типа Остроградского-Гаусса для бикватернионных функций $F$ вещественного бикватернионного аргумента $Z$ ^[3]:

\oint _{S_{3}}F\ dZ=\int _{V_{4}}(FD)\ dV_{4}

\oint _{S_{3}}dZ\ F=\int _{V_{4}}(DF)\ dV_{4}

В правых частях этих формул производится интегрирование внутри некоторой вещественнозначной области $V_{4}$ комплексного псевдоевклидова пространства бикватернионов, а в левых частях производится интегрирование по границе этой области $S_{3}=\partial V_{4}$ . $D=(\partial _{t},\nabla )$ обозначает бикватернионный 4-градиент.

Из бикватернионных формул для одной функции при рассмотрении частного случая чисто векторной функции $F={\mathbf {F}}$ следуют обычная формула Остроградского-Гаусса и теорема Стокса:

\oint _{S_{2}}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {s}}=\int _{V_{3}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\ dV_{3}

\oint _{S_{2}}d{\mathbf {s}}\times {\mathbf {F}}=\int _{V_{3}}(\nabla \times {\mathbf {F}})\ dV_{3},

Бикватернионная формула для двух функций

Существует расширение формул для одной функции вещественного бикватернионного аргумента на случай двух функций $F(Z),G(Z)$ вещественного бикватернионного аргумента $Z$ ^[4] .

\oint _{S_{3}}FdZG=\int _{V_{4}}(FDG)dV_{4},

где используется следующая квадратичная форма от функций $F(Z),G(Z)$ :

(FDG)=(FD)G+F(DG).

Каждую из бикватернионных формул для одной функции можно получить из бикватернионной формулы для двух функций, если взять в качестве одной из двух функций единицу.

Доказательство

Оператор $D$ раскладывается по бикватернионному базису как: $D=\sum \limits _{k=0}^{3}e_{k}\partial _{k}$ , а дифференциал координаты как: $dZ=\sum \limits _{i=0}^{3}e_{i}dx_{i}$ .

Рассмотрим сначала формулу типа Остроградского-Гаусса для одной бикватернионной функции. Левая часть этой формулы выразится как:

\oint _{S_{3}}dZ\ F=\oint _{S_{3}}(\sum \limits _{i=0}^{3}e_{i}dx_{i})\ F=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}(e_{i}F)dx_{i}=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}F_{i}dx_{i},

где обозначено: $F_{i}=e_{i}F$ .

Для правой же части формулы получаем:

\int _{V_{4}}(DF)\ dV_{4}=\int _{V_{4}}(\sum \limits _{k=0}^{3}e_{k}\partial _{k})F\ dV_{4}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}(e_{k}F)\ dV_{4}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}F_{k}\ dV_{4}

Tаким образом, бикватернионную формулу для одной функции можно выразить в виде, стандартном для векторного анализа:

\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}F_{i}dx_{i}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}F_{k}\ dV_{4}

Левую часть бикватернионной формулы для двух функций можно выразить следующим:

\oint _{S_{3}}FdZG=\oint _{S_{3}}F(\sum \limits _{i=0}^{3}e_{i}dx_{i})G=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}(Fe_{i}G)dx_{i}=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}A_{k}dx_{i},

где обозначено $A_{k}=Fe_{i}G$ . К последнему интегралу применима полученная выше бикватернионная формула для одной функции:

\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}A_{k}dx_{i}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}A_{k}\ dV_{4}=\int _{V_{4}}(FDG)\ dV_{4},

Последнее тождество и завершает доказательство.

См. также

Источники

↑ C. A. Deavours, «The Quaternion Calculus», American Mathematical Monthly, 1973, 995—1008.
↑ A. Sudbery, «Quaternionic analysis», Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 85 (1979), 199—225.
↑ K. Imaeda, «A new formulation of classical electrodynamics», Nuovo Cimento B, 32:1 (1978), 138—162.
↑ S.Y. Kotkovskiy. «Nonlinear Maxwell equations». arXiv:2403.00836 [physics.class-ph], 28-31.

[1] C. A. Deavours, «The Quaternion Calculus», American Mathematical Monthly, 1973, 995—1008.

[2] A. Sudbery, «Quaternionic analysis», Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 85 (1979), 199—225.

[3] K. Imaeda, «A new formulation of classical electrodynamics», Nuovo Cimento B, 32:1 (1978), 138—162.

[4] S.Y. Kotkovskiy. «Nonlinear Maxwell equations». arXiv:2403.00836 [physics.class-ph], 28-31.

[1]

[2]

[3]

[4]