Вертикальная педагогика

Вертикальная педагогика — метод обучения школьников математике, основанный на системе ключевых задач, разновозрастном взаимодействии учащихся и изменённой структуре уроков. Создан белорецким педагогом Р. Г. Хазанкиным в конце 1970-х годов^[1][2]. Метод отмечен Государственной премией СССР (1990) и Премией Правительства России в области образования (2006)^[3][4][1].

Применяется Р. Г. Хазанкиным и рядом его последователей^[5]. Эффективность методики подтверждается как официальным признанием на государственном уровне^[1], так и её подробным описанием в академических и методических пособиях для педагогов^[6][2]. По данным публикаций, использование метода связано с достижениями учеников в развитии творческих способностей и успехами на олимпиадах^[7].

В традиционной организации урока ученик зачастую выполняет пассивную роль, а основное время занимает монолог учителя. Даже при проведении «устного опроса» активность и вовлечённость в обсуждение, как правило, ограничиваются лишь отвечающим учеником, а не всем классом.

Стержневой идеей данного опыта выступает задача побудить учащихся к активной работе и самостоятельному творчеству на каждом уроке, реализуя потенциал каждого школьника^[7]. Организация обучения, при которой ученики настолько поглощены процессом, что не замечают времени и не устают, является целевым состоянием метода.

Ещё одна проблема в обучении математике заключается в том, нужно ли заставлять школьника выучивать наизусть формулы, доказательства, приемы решения задач, или эти столь необходимые для математического образования элементы должны осмысливаться на уроках постепенно, путём неоднократного применения в практике решения задач. Если осмысливание признать более важным, чем заучивание, то встаёт вопрос о том, как оценивать труд учащихся и как реализовать принцип индивидуального подхода в обучении.

Таким образом, ответом на поставленные вопросы является принцип, согласно которому обучение должно основываться на познавательном интересе школьников. Для его поддержания предлагается исключить из практики формальное заучивание и строить процесс на совместной деятельности учителя и разновозрастных групп учеников^[2], направленной на самостоятельное приобретение знаний.

Одним из путей реализации такого подхода в обучении является вертикальная педагогика, которая предполагает^{[8] [9]} выполнение следующих условий (принципов).

• Первый. Планирование учебной нагрузки учителя таким образом, чтобы у него образовалась «вертикаль», то есть по одному классу с восьмого или девятого по одиннадцатый класс включительно или, например, с пятого по восьмой или девятый класс. При этом учебный процесс строится таким образом, чтобы каждый ученик более старшего класса был активным помощником учителю в обучении одного ученика из класса ниже.^[1]
• Второй. Изменение традиционной структуры урока. При традиционной структуре 45 минут делятся на несколько частей — проверка домашнего задания, объяснение нового материала, закрепление его. Вместо суетливой спешки на уроке в попытках охватить все названное выше, используется система совместной работы учащихся и учителя, включающая в себя:

проведение уроков-лекций с целью изучения новой темы крупным блоком, активизации мышления школьников при изучении нового, экономии времени для дальнейшей творческой работы;

проведение уроков решения ключевых задач по теме. Учитель (вместе с учащимися) вычленяет минимальное число задач, на которых реализуется изученная теория, учит распознавать и решать ключевые задачи;

проведение уроков-консультаций, на которых вопросы задают ученики, а отвечает на них учитель;

проведение зачетных уроков, целью которых является организация индивидуальной помощи учащимся, постепенная подготовка их к решению более сложных задач, контроль усвоения пройденной темы.

Проводятся и промежуточные уроки, их структура и количество зависят от сложности темы и уровня развития учащихся.^[6]

• Третий. Организация систематической и целенаправленной внеклассной работы по математике с целью развития творческих способностей учащихся.^[7]

Урок-лекция — это урок приобщения школьников к творческой деятельности на учебном материале, урок соразмышления учителя и учеников^[10][11]. Он должен быть подготовлен так, чтобы, с одной стороны, крупным блоком рассмотреть целую тему, обеспечить высокий научный уровень, а с другой — обеспечить доступность, изящество и красоту изложения. Именно в ходе лекции пробуждается интерес к математике, но лишь когда лекция далека от пересказа параграфа учебника.

Во время лекции рассказ учителя сочетается с вопросами к классу: «А как вы думаете? Предложите свои варианты. Приведите опровергающий пример, попробуйте доказать самостоятельно, повторить доказательство, сформулируйте правило, определение или теорему. Кто может данное утверждение обобщить? Нет ли у кого другого доказательства?»^[2]. Такие вопросы стимулируют активную работу мысли. Как бы хорошо ни была подготовлена лекция, учитель должен прерывать её вопросами: «Кому непонятно? Где непонятно? Кому понятно?», побуждая школьников признаваться в непонимании^[2]. Если ученик просит повторить утверждение или доказательство, учитель должен доброжелательно и обстоятельно сделать это. Важно создавать атмосферу, где ученики не боятся «ляпнуть глупость», задать любой вопрос^[12]. Пусть лучше учитель не успеет что-то из запланированного, чем прервёт задавшего вопрос.

Урок-лекция — самый трудный^[11][6][10]. Он требует большой подготовки, умения быть блестящим лектором и одновременно держать в поле зрения всех учеников, управляя их деятельностью. Его сложность в необходимости решить комплекс взаимосвязанных задач^[2]:

• заинтересовать учащихся материалом лекции;
• добиться понимания сути изучаемого вопроса;
• познакомить с методами математических исследований, используемыми в теме;
• заложить основы для решения задач и доступной творческой деятельности;
• ознакомить с литературой для закрепления и углубления материала.

Обучение математике — это прежде всего обучение решению задач^[11][6][10]. Цель не в том, чтобы решить как можно больше однотипных задач, а в том, чтобы овладеть ключевыми идеями.

Многие задачи из учебников и задачником дублируют друг друга, отличаясь лишь обозначениями или несущественными деталями, тогда как их математическая сущность одна. Оказывается, по каждой теме достаточно выделить несколько, обычно не более 7–8 «ключевых» задач; почти все остальные можно свести к одной из них или их композиции^[2][6].

В качестве примера рассмотрим тему «Решение квадратных уравнений». Большинство стандартных уравнений сводится к следующим шести типам:

1. ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$
2. ${\displaystyle ax^{2}+bx=0}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$
3. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$
4. ${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$, n-натуральное число
5. ${\displaystyle af^{2n}(x)+bf^{n}(x)+c=0}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$, n-натуральное число, ${\displaystyle f(x)}$ — знакомая функция, например ${\displaystyle f(x)=|x|}$ или ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
6. ${\displaystyle g(x)(af^{2n}(x)+bf^{n}(x)+c)=0}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$, n-натуральное число, ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — знакомые функции

После разбора ключевых задач нужно организовать деятельность для тренировки в их распознавании, решении и составлении^[2]. Желательно, чтобы ученики систематизировали их и составили для себя справочники (таблички, схемы), которыми можно пользоваться на уроках и во время контрольных работ^[11][6][10]. Опыт показывает, что такие схемы-справочники используются и при подготовке в вузы.

Работа по выбору ключевых задач позволяет обеспечить фундамент для перехода к решению нестандартных задач и работе с научно-популярной литературой. Решение большинства трудных олимпиадных задач сводится к распознанию идей, отражённых в ключевых задачах^[11][10]. Кроме того, система позволяет обоснованно дифференцировать работу: овладение ключевыми задачами гарантирует выполнение программы, а интересующиеся математикой ученики могут перейти к составлению своих задач, решению нестандартных и участию в конкурсах^[2].

Такой подход даёт возможность ликвидировать не только перегрузку учащихся (решается меньшее число задач, меньше их задается на дом, заранее известно, какие типы задач подлежат опросу), но и существенно облегчает труд учителя по планированию уроков, проверке знаний учащихся^[11][6][10].

Наблюдения показывают, что ученики 4–5 классов охотно обращаются за помощью, но в 6–7 классах практически перестают задавать вопросы, что может привести к потере интереса. Для преодоления этого была разработана форма урока-консультации^[2]. Её цель — организовать совместную деятельность учителя и разновозрастных учеников так, чтобы создать ситуацию, в которой школьники вынуждены и заинтересованы задавать вопросы на уроке. Консультация проводится после изучения темы, разбора ключевых задач и тренировки^[11][6][10].

Накануне урока ученики получают домашнее задание — подготовить карточки с условиями нерешённых или интересных задач^[2]. Практика показывает, что поначалу ученики затрудняются сформулировать вопросы. Поэтому на первых консультациях, если вопросов нет, учитель сам, обращаясь к учебнику, показывает примеры возможных вопросов, уча работе с ним.

Из множества полученных задач отбирается 5–7 наиболее показательных, решение которых вооружает приёмами для решения остальных^[2][10]. Ценность в том, что ученики видят, как решение рождается на их глазах^[12]. Даже если учитель не может решить задачу, это активизирует совместный поиск.

• Позволяет восполнить пробелы.
• Карточки с вопросами учащихся становятся ценным дидактическим материалом для повторения темы и организации контроля.
• Вынуждает учителя активно просматривать различные задачники, журналы (такие как «Квант», «Математика в школе») и другие источники.
• Вопросы учащихся используются для обобщения математических утверждений и знакомства с приёмами составления новых задач.
• Урок позволяет лучше узнать учеников, увидеть их динамику, выявить наиболее любознательных и поддержать тех, кто испытывает трудности.
• Интересные вопросы позволяют провести урок на высоком эмоциональном и научном уровне, стимулируя творчество учителя^[2][10].

• Позволяют увидеть живой пример работы над незнакомой задачей и осознать, что они могут научиться работать так же.
• Дают шанс проявить себя «трудолюбивым молчунам» — ученикам, которые стесняются выходить к доске, но могут задать умный вопрос в письменной форме, получив признание.
• Стимулируют самостоятельную работу с учебной и научно-популярной литературой.
• Формируют и поддерживают привычку задавать вопросы, что обогащает любой урок в дидактическом и воспитательном плане^[2][10].

Зачётные уроки — специальные уроки, на которых встречаются два класса^[1]. Эти уроки предназначены не только для контроля знаний и умений учащихся, но и прежде всего для обучения, развитию и воспитанию школьников посредством индивидуальной работы с каждым непосредственно на зачёте^[2][10].

Зачёт проводится по целой теме. Он призван проверять уяснение теоретических основ изучаемой темы, сформированность умения распознавать и решать ключевые задачи, использовать знание теории и алгоритмов решения ключевых задач в новой ситуации^[2]. В зачёты включается тот материал, которым должны владеть все ученики класса после изучения темы. Кроме того, целесообразно включать такой материал, который входит в программу выпускных и вступительных экзаменов.

К проведению зачёта привлекаются старшие школьники^[1]. Накануне зачёта старшие школьники получают специальное домашнее задание — подготовить зачётную карточку^[2]. В карточку включаются основные вопросы теории, ключевые задачи, а также задания, учитывающие индивидуальные особенности сдающего зачёт^[11][6][10]. Подготовленные карточки ребята сдают на просмотр учителю, который может предложить внести изменения.

Порядок проведения зачёта, например в 8 или 9 классе, следующий. На зачёт отводится два урока^[2]. На первом школьник, получив карточку, приступает к решению задач. На втором уроке ему предстоит в течение 45 минут отвечать как по теории, так и по практике старшекласснику, составившему карточку^[11][6][10]. Если в ходе ответа обнаруживается непонимание сути дела или пробелы в знаниях, то сдающий тут же получает необходимые разъяснения^[2][10]. Старший школьник, разъяснив сдающему теорию или решение задачи, не останавливается на этом, а просит повторить все рассуждения^[2].

Заканчивается зачёт тем, что принимающий выставляет в зачётную карточку три оценки: за ответ по теории, за решение задач из карточки, за ведение тетради. При этом каждая из оценок мотивируется^[2]. В случае получения неудовлетворительной оценки школьники сами уславливаются о сроке повторного зачёта.

Первая из этих задач — воспитательная. Приходится учить детей общению на зачёте, воспитывать уважение младших к старшим, доброжелательное, но и требовательное отношение старших к младшим^[2]. Вторая задача — специальная подготовка старших к участию в зачёте. Составление зачётной карточки предполагает не простое повторение материала, а изучение его на более высоком уровне. Дело в том, что подготовка интересных задач для карточек — это качественно новая ступень в математическом развитии школьников^[2][10].

Сдающий зачёт вынужден осознанно изучить теорию. В случае затруднения он обращается к дополнительной литературе, ему «выгодно» задавать вопросы учителю, старшекласснику, однокласснику, ибо в противном случае на эти вопросы ему придётся отвечать самому в ходе зачёта. Тем самым ученик приучается к постоянной работе с математической литературой, учится преодолевать трудности в учёбе, ему приходится вступать в общение с учителем и учащимися, что благотворно сказывается на его развитии^[2].

Зачётные уроки позволяют учителю глубоко проверить каждого, что традиционным методом практически невозможно^[2]. Они снимают дискомфорт слабого ученика у доски и постоянную тревогу за «накопляемость» оценок^[11][6]. Оценок, полученных на зачётах и контрольных работах, вполне достаточно для объективной оценки за четверть, а это условие приводит к тому, что на уроках появляется возможность более творческого общения, обсуждение задач становится более раскованным^[2].

В ходе каждого зачёта требуется постоянно возвращаться к одним и тем же вопросам, например: формулам сокращённого умножения, признакам равенства треугольников, действиям над дробями, решению линейных уравнений и квадратных уравнений, теореме Пифагора и так далее. Возвращение к уже изученному способствует тому, что шестиклассники и семиклассники твёрдо и сознательно овладевают основным материалом, что обуславливает дальнейшее успешное изучение математики^[2].

Помимо основных типов занятий, в систему вертикальной педагогики входят уроки, посвящённые контролю и анализу результатов:

• Урок анализа результатов зачётного занятия в парах. На этом занятии учитель, используя заполненные зачётные карточки, систематизирует типичные трудности, возникшие у школьников в понимании теории, практике решения и оформлении задач.
• Контрольный урок. Проводится учителем для итоговой оценки работы учащихся обоих звеньев вертикали (как сдающих, так и принимающих зачёт).
• Урок анализа контрольной работы. Посвящён подробному разбору результатов и ошибок контрольной работы, проведённой на предыдущем уроке.^[11][6]

Студенты вузов — выпускники прошлых лет — представляют собой ещё одну «ступень» вертикальной педагогики. Традиционно в период студенческих каникул проходят различные мероприятия по передаче опыта школьникам: тематические классные часы о жизни в вузах, выездные олимпиады ведущих университетов страны (МФТИ, СПбГУ и др.), а также зачёты, которые студенты принимают у школьников (например, в 11 классе по теме «Интеграл и его приложения»). Занятия математических кружков также нередко ведут совместно учителя, студенты и аспиранты — бывшие участники олимпиад. В летние каникулы выпускники участвуют в работе физико-математических школ в качестве вожатых и преподавателей.^[3] Из-за сокращения школьной программы за её рамками остались многие важные математические темы, такие как принцип Дирихле, «правило крайнего», инварианты, метод математической индукции, сравнение по модулю, метод перебора и другие. В результате было отобрано 75 подобных тем, которые стали «ключевыми» для внеклассной работы.^[2]

Методика Хазанкина, основанная на передаче опыта между учениками разного возраста, получила признание, но также выявила жёсткие системные требования. Её ключевым элементом было привлечение старшеклассников и выпускников к проведению устных зачётов для младших классов. Такая практика предъявляла высокие требования к организации и, что особенно важно, к математической подготовке самих учеников-экзаменаторов.

Как отмечали исследователи, основная сложность при попытках широкого внедрения методики заключалась именно в кадровом вопросе. «Далеко не всем последователям Хазанкина удавалось обеспечить, чтобы уровень подготовки старшеклассников, проводящих зачёт, соответствовал целям и сложности заданий»^[13]. Таким образом, эффективность «вертикальной педагогики» напрямую зависела от уникальной способности учителя-автора не только обучать, но и готовить из своих учеников квалифицированных помощников-наставников, что представляет собой сложный для тиражирования педагогический феномен.

В. К. Дьяченко, развивавший технологию коллективного способа обучения (КСО), отмечает, что опыт Хазанкина, как и других новаторов в классно-урочной системе (КУС), способствует возникновению заблуждения: кажется, что можно улучшить школу без коренной реформы. Это задерживает переход к новым технологиям, таким как КСО, где обучение происходит в парах сменного состава. По Дьяченко, вертикальная педагогика не отходит от КУС, требуя дополнительной работы учителя сверх уроков, и её успехи зависят от личности Хазанкина, а не от системной воспроизводимости^[14].

Метод эффективен в основном с одарёнными учащимися и требует значительной адаптации для массовой школы. Хотя критики отмечают, что многие успехи достигаются благодаря личным качествам Хазанкина (любовь к работе, детям и математике, ответственность), а не строго научной основе, элементы метода соответствуют зоне ближайшего развития Выготского, подчёркивая роль совместной деятельности в развитии^[12].

• Зильберберг, Н. И. Приобщение к математическому творчеству. — 1988.
• Поиск диссертаций и авторефератов по запросу «ХАЗАНКИН»  (рус.). DisserCat — электронный каталог диссертаций и авторефератов. — «Поиск диссертаций и авторефератов, которые ссылаются на работы Р. Г. Хазанкина в контексте педагогических методов.» Дата обращения: 26 декабря 2025.
• Фахретдинова, В. А.; Николаева, Е. Р. (2018). Метод ключевых задач при решении задач на вписанную и описанную окружность. Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки (13): 108—113. Дата обращения: 26 декабря 2025.
• Захарищева, М. А.; Кутявина, Л. Л. (2020). История методической подготовки учителей математики в России (вторая половина XIX-XX веков). Вестник Удмуртского университета. Серия «Философия. Психология. Педагогика». 30 (3): 276—282. Дата обращения: 26 декабря 2025.

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} ХАЗАНКИН Роман Григорьевич . Башкирская энциклопедия. — «Х. разработана «вертикальная педагогика» — методика преподавания математики, согласно к‑рой уч‑ся ст. класса помогают учителю в обучении уч‑ся классом ниже.» Дата обращения: 23 декабря 2025.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28} Фоминых, Ю.Ф. Вертикальная педагогика Р. Г. Хазанкина // Педагогика математики / Ю.Ф. Фоминых, Е.Г. Плотникова. — Пермь : Изд-во Пермского государственного педагогического университета, 2000. — P. 415-420. — «В главе учебного пособия для педагогов описывается суть методики «вертикальной педагогики», её принципы и организационные формы, внеклассная работа...».
3. ↑ ^{1 2} Из гнезда вундеркиндов  (рус.). Известия. Дата обращения: 23 декабря 2025.
4. ↑ Роман Григорьевич Хазанкин . Белорецкий историко-краеведческий музей. Дата обращения: 23 декабря 2025.
5. ↑ Психодидактика математического образования . Томский государственный педагогический университет (31 марта 2014). Дата обращения: 23 декабря 2025.
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12} Зайцев, В.С. Технология обучения математике на основе решения задач // Современные педагогические технологии. Книга 2. — ЧГПУ, 2012. — P. 143-148. — «Подраздел «Вертикальная педагогика» Р.Г. Хазанкина. Изменение традиционной структуры урока... описывает проведение уроков-лекций, уроков решения ключевых задач, уроков-консультаций и зачетных уроков.».
7. ↑ ^{1 2 3} Волшебный мир урока. Народные учителя Республики Башкортостан . Учительская газета (16 марта 2010). — «Благодаря разработанной Романом Григорьевичем «вертикальной педагогике» им были достигнуты значительные успехи в развитии творческих способностей школьников...» Дата обращения: 23 декабря 2025.
8. ↑ Хазанкин Роман Григорьевич . Краеведческий фонд «Наш Урал». Дата обращения: 23 декабря 2025.
9. ↑ Он посвятил себя детям. К 70-летию педагога Романа Хазанкина . ИА «Башинформ» (3 апреля 2017). Дата обращения: 23 декабря 2025.
10. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15} Бердникова, А. Г.; Мазур, М. И. (2015). Возможности развития системного мышления ученика на уроках математики. Universum: психология и образование (8 (18)). Дата обращения: 26 декабря 2025.
11. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11} Селевко, Г. К. Энциклопедия образовательных технологий: в 2 т. Т. 1. — Москва : НИИ школьных технологий, 2006. — ISBN 5-87953-211-9.
12. ↑ ^{1 2 3} Асмолов, Александр. Полифонический роман Романа Хазанкина // Зачем школьнику математика? Уроки Хазанкина: статьи и материалы / М. А. Горелов и др.. — Москва : ФИРО, 2012. — ISBN 978-5-85630-064-1.
13. ↑ Karp, Alexander. Russian Mathematics Education: Programs and Practices / Alexander Karp, Bruce R. Vogeli. — World Scientific, 2011. — Vol. 2. — P. 359. — «[Фрагмент, где обсуждается методика Хазанкина]». — ISBN 978-981-4322-70-6.
14. ↑ Дьяченко В. К. Диалоги об образовании // Школьные технологии. — 2001. — № 4. — URL: https://narodnoe.org/journals/shkolnie-tehnologii/2001-4/dialogi-ob-obrazovanii- (дата обращения: 25.12.2025).