Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

${\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

(в англоязычной литературе обозначается ${\displaystyle \sinh x}$)

• гиперболический косинус:

${\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$

(в англоязычной литературе обозначается ${\displaystyle \cosh x}$)

• гиперболический тангенс:

${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

(в англоязычной литературе обозначается ${\displaystyle \tanh x}$)

• гиперболический котангенс:

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}$

(в англоязычной литературе обозначается ${\displaystyle \coth x}$)

• гиперболический секанс:

${\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}$

Гиперболический секанс иногда также обозначается как ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$.

• гиперболический косеканс:

${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}$

Ввиду соотношения ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1}$ гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ (${\displaystyle x=\operatorname {ch} t}$, ${\displaystyle y=\operatorname {sh} t}$). При этом аргумент ${\displaystyle t=2S}$, где ${\displaystyle S}$ — площадь криволинейного треугольника ${\displaystyle OQR}$, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси ${\displaystyle OX}$, и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: ${\displaystyle x=t,y=f(t)}$, где ${\displaystyle f(t)}$ — ордината точки гиперболы, соответствующей вершине криволинейного треугольника площадью ${\displaystyle S=t/2}$. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

${\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)}$.

${\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x}$.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.}$

1. Чётность/нечётность:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} (-x)=-\operatorname {cth} x.}$
   5. ${\displaystyle \operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} x.}$
   6. ${\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} x.}$
2. Формулы сложения:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y}}.}$
3. Формулы двойного аргумента:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).}$
   5. ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}.}$
   6. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.}$
4. Формулы кратных аргументов:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 3x={\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x.}$
   5. ${\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x.}$
   6. ${\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}.}$
5. Произведения:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}.}$
6. Суммы:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y}}.}$
7. Формулы понижения степени:
   1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.}$
8. Разложение на множители:
   1. ${\displaystyle 2(1+\operatorname {ch} x)=(1+{e^{x}})(1+{e^{-x}})=1+{e^{x}}+1+{e^{-x}}}$
   2. ${\displaystyle 2(1-\operatorname {ch} x)=(1-{e^{x}})(1-{e^{-x}})=1-{e^{x}}+1-{e^{-x}}}$
9. Производные:

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Производная ${\displaystyle f'(x)}$	Примечание
${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$	Доказательство ${\displaystyle (sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1))={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)}$
${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$	Доказательство ${\displaystyle (ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1))={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)}$
${\displaystyle \mathrm {th} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}}$	Доказательство ${\displaystyle (th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {1}{ch^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {cth} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}}$	Доказательство ${\displaystyle (cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)}}\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sh^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {sch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}}$	Доказательство ${\displaystyle (sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {csch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}}$	Доказательство ${\displaystyle (csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}}$

1. Интегралы:

   См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций

   1. ${\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C.}$
   2. ${\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C.}$
   3. ${\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C.}$
   4. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.}$
   5. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.}$
   6. ${\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.}$
   7. ${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.}$
   8. ${\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.}$
2. Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}}$
   5. ${\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
   6. ${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}}$

Для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ выполняется:

1. ${\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x}$
2. ${\displaystyle |\operatorname {th} x|<1}$

${\displaystyle \operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi }$ (Ряд Лорана)

${\displaystyle \operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}}}$

Здесь ${\displaystyle B_{2n}}$ — числа Бернулли, ${\displaystyle E_{2n}}$ — числа Эйлера.

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках ${\displaystyle z=i\pi (n+1/2)}$, где ${\displaystyle n}$ — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек ${\displaystyle z=i\pi n}$, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

• ${\displaystyle \operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$ — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
• ${\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}$ — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
• ${\displaystyle \operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1}$ — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
• ${\displaystyle \operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1}$ — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
• ${\displaystyle \operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1}$ — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение ${\displaystyle y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}}$ также удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \operatorname {sch} y=x}$, однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
• ${\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=\left\{{\begin{array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.}$ — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

${\displaystyle \operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsin} (-ix),}$

${\displaystyle \operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsin} x,}$

${\displaystyle \operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),}$

${\displaystyle \operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),}$

${\displaystyle \operatorname {Arccos} \ x=-i\ \operatorname {Arch} \ x,}$

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

${\displaystyle \operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad \left\vert x\right\vert <1;}$

${\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;}$

${\displaystyle \operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.}$

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, ${\displaystyle \operatorname {Arth} \,x}$ пишут как ${\displaystyle \operatorname {tanh} ^{-1}x}$ (причём ${\displaystyle (\operatorname {tanh} \,x)^{-1}}$ обозначает другую функцию — ${\displaystyle \operatorname {cth} \,x}$), и т. д.

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: ${\displaystyle \operatorname {sh} }$, ${\displaystyle \operatorname {ch} }$. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения ${\displaystyle \operatorname {sinhyp} }$, ${\displaystyle \operatorname {coshyp} }$, в русскоязычной литературе закрепились обозначения ${\displaystyle \operatorname {sh} ,\operatorname {ch} }$, в англоязычной закрепились ${\displaystyle \sinh ,\cosh }$.

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}}$ описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathop {\mathrm {ch} } \,x&\mathop {\mathrm {sh} } \,x\\\mathop {\mathrm {sh} } \,x&\mathop {\mathrm {ch} } \,x\end{pmatrix}}}$ описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная бесконечно гибкая веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции ${\displaystyle y=a\,\mathop {\mathrm {ch} } \,{\frac {x}{a}}}$ (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

• Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.

• Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
• А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.

• GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
• БСЭ: Знаки математические
• Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)