Граф Габриэля

Граф Габриэля множества ${\displaystyle S}$ точек двумерного пространства выражает понятие близости этих точек. Формально, это граф ${\displaystyle G}$ с вершинами ${\displaystyle S}$, в котором любые точки ${\displaystyle p\in S}$ и ${\displaystyle q\in S}$ смежны, когда они различны, то есть ${\displaystyle p\neq q}$, и замкнутый круг с отрезком ${\displaystyle {\overline {pq}}}$ в качестве диаметра не содержит других элементов множества ${\displaystyle S}$.

Графы Габриэля естественным образом обобщаются на более высокие размерности, где пустые диски заменяются пустыми замкнутыми шарами. Названы в честь Рубена Габриэля, который ввёл их в совместной статье с Робертом Сокалом в 1969.

Существование конечного порога перколяции узлов для графов Габриэля доказали Бертен, Биллиот и Друилхет^[1], а более точные значения как для порога узлов, так и порога рёбер (связей) дал Норренброк^[2].

• Граф Габриэля является подграфом триангуляции Делоне. Он может быть найден за линейное время, если триангуляция Делоне задана^[3].

• Граф Габриэля содержит в качестве подграфов евклидово минимальное остовное дерево, граф относительных окрестностей и граф ближайших соседей.

• Граф является частным случаем бета-скелета Подобно бета-скелетам и, в отличие от триангуляции Делоне, данный граф не является геометрическим остовом — для некоторых множеств точек расстояния в графе Габриэля могут быть много больше евклидовых расстояний между точками^[4].