Дзета-функция Виттена

Дзета-функция Виттена — функция, связанная с корневой системой, кодирующей степени неприводимых представлений соответствующей группы Ли. Эти дзета-функции были введены Доном Цагиром, который дал им название в честь исследования Эдвардом Виттеном их специальных значений (помимо прочего).^[1][2] Обратите внимание, что в^[2] дзета-функции Виттена не появляются как явные самостоятельные объекты.

Если ${\displaystyle G}$ — компактная полупростая группа Ли, соответствующая дзета-функция Виттена — это (мероморфное продолжение) ряда:

${\displaystyle \zeta _{G}(s)=\sum _{\rho }{\frac {1}{(\dim \rho )^{s}}}}$,

где сумма берётся по классам эквивалентности неприводимых представлений ${\displaystyle G}$.

В случае, когда ${\displaystyle G}$ связно и односвязно, соответствие между представлениями ${\displaystyle G}$ и её алгебры Ли вместе с формулой размерности Вейля подразумевает, что ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ можно записать как:

${\displaystyle \sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor },m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}}}$,

где ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ обозначает множество положительных корней, ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ представляет собой набор простых корней и ${\displaystyle r}$ — ранг.

Функция обобщает дзета-функцию Римана: ${\displaystyle \zeta _{SU(2)}(s)=\zeta (s)}$, где ${\displaystyle SU(2)}$ — специальная унитарная группа матриц размерности 2×2.

Если ${\displaystyle G}$ является простой и односвязной, абсцисса сходимости ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ равна ${\displaystyle r/\kappa }$, где ${\displaystyle r}$ — ранг и ${\displaystyle \kappa =|\Phi ^{+}|}$. Это увтерждение доказано Алексом Любоцким и Майклом Ларсеном.^[3] Йокке Хяся и Александр Стасинский^[4] приводят новое доказательство, которое ведёт к более общему результату, а именно, оно даёт явное значение (в терминах простой комбинаторики) абсциссы сходимости любой «дзета-функции Меллина» вида:

${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(x_{1},\dots ,x_{r})^{s}}}}$,

где ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{r})}$ является произведением линейных многочленов с неотрицательными действительными коэффициентами.

Дзета-функция Виттена для ${\displaystyle SU(3)}$:

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)=\sum _{x=1}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{\frac {1}{(xy(x+y)/2)^{s}}}}$

сходится абсолютно при ${\displaystyle {s\in \mathbb {C} ,\,\operatorname {Re} (s)>{\frac {2}{3}}}}$ и может быть мероморфно продолжена на ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Все её особенности, являющиеся так же простыми полюсами, находятся в точках ${\displaystyle {\Bigl \{}{\frac {2}{3}}{\Bigl \}}\cup {\Bigl \{}{\frac {1}{2}}-k,\,k\in \mathbb {N} {\Bigl \}}}$ В точке ${\displaystyle s=0}$, у нас есть ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(0)={\frac {1}{3}},}$ и ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(0)=\log(2^{4/3}\pi ).}$

Для ${\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*}}$:

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(a)={\frac {2^{a+2}}{1+(-1)^{a}2}}\sum _{k=0}^{[a/2]}{2a-2k-1 \choose a-1}\zeta (2k)\zeta (3a-k)}$.

Если ${\displaystyle a}$ нечётно, то ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$ имеет тривиальный ноль в ${\displaystyle s=-a}$, и:

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(-a)={\frac {2^{-a+1}(a!)^{2}}{(2a+1)!}}\zeta '(-3a-1)+2^{-a+2}\sum _{k=0}^{(a-1)/2}{a \choose 2k}\zeta (-a-2k)\zeta '(-2a+2k)}$.

Если ${\displaystyle a}$ чётно, то ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$ имеет ноль порядка ${\displaystyle 2}$ в ${\displaystyle s=-a}$, и:

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}''(-a)=2^{-a+2}\sum _{k=0}^{a/2}{a \choose 2k}\zeta '(-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}$