Дзета-функция Игусы

Дзета-функция Игусы (${\displaystyle p}$-адическая дзета-функция) — функция, определяемая для многочлена ${\displaystyle f}$ с ${\displaystyle p}$-адическими коэффициентами от ${\displaystyle n}$ переменных и заданного комплексного числа ${\displaystyle s}$ из правой полуплоскости (${\displaystyle \operatorname {Re} s>0}$) как интеграл:

${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}(f;s)=\int _{\mathbb {Z} _{p}^{n}}|f(x)|_{p}^{s}\,|dx|}$.

Введена Дзюн-Ити Игусой в 1974 году, доказавшим с её помощью гипотезу Боревича — Шафаревича (1966): ряд Пуанкаре для многочлена ${\displaystyle f}$ с ${\displaystyle p}$-адическими коэффициентами:

${\displaystyle \varphi _{F}(t)=\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}t^{m}}$,

где ${\displaystyle c_{m}}$ — число решений сравнения ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{m}}}}$ — является рациональной функцией от ${\displaystyle t}$ (теорема Игусы). Этот результат выражает факт зависимости чисел ${\displaystyle c_{m}}$ от предыдущих значений ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{m-1}}$.

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985. — С. 55—56.
• Potemans N., Veys W. Introduction to p-adic Igusa zeta functions (англ.) // Contemporary Mathematics. — 2022. — Vol. 778, iss. Adic Analysis, Arithmetic and Singularities. — doi:10.1090/conm/778/15655.
• Jun-Ichi Igusa. Complex powers and asymptotic expansions. I. Functions of certain types // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Вып. 268–269. — С. 110–130. — doi:10.1515/crll.1974.268-269.110. — .
• Denef J. Report on Igusa’s Local Zeta Function (англ.) // Séminaire Bourbaki. — 1991. — Vol. 43 (1990—1991), iss. Astérisque 201-202-203, no. 741. — P. 359—386.