Дзета-функция Минакшисундарама — Плейеля

Дзета-функция Минакшисундарама–Плейеля — это дзета-функция, кодирующая собственные значения лапласиана компактного риманова многообразия. Она была введена Суббарамиахом Минакшисундарамом и Оке Плейелем (1949). Случай компактной области плоскости был ранее рассмотрен Торстеном Карлеманом (1935).

Для компактного риманова многообразия M размерности N с собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ оператора Лапласа–Бельтрами ${\displaystyle \Delta }$, дзета-функция задаётся для достаточного большого ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)}$ следующим образом

${\displaystyle Z(s)={\mbox{Tr}}(\Delta ^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\vert \lambda _{n}\vert ^{-s}.}$

Если собственное значение равно нулю, оно опускается. Многообразие может иметь границу, и в этом случае необходимо задать подходящие граничные условия, например, условия Дирихле или Неймана.

В более общем смысле можно определить

${\displaystyle Z(P,Q,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{n}(P)f_{n}(Q)}{\lambda _{n}^{s}}}}$

для P и Q на таком многообразии, где ${\displaystyle f_{n}}$ являются нормированными собственными функциями. Это выражение может быть аналитически продолжено до мероморфной функции от s при любых комплексных s и является голоморфной при ${\displaystyle P\neq Q}$ .

Единственно возможными полюсами являются простые полюса в точках ${\displaystyle s=N/2,N/2-1,N/2-2,\dots ,1/2,-1/2,-3/2,\dots }$ для нечётных ${\displaystyle N}$ и в точках ${\displaystyle s=N/2,N/2-1,N/2-2,\dots ,2,1}$ для чётных ${\displaystyle N}$. Если ${\displaystyle N}$ нечётное, то ${\displaystyle Z(P,P,s)}$ сокращается при ${\displaystyle s=0,-1,-2,\dots }$ . Если ${\displaystyle N}$ чётно, вычеты в полюсах можно явно найти в терминах метрики и по теореме Винера–Икехары мы получаем, как следствие, соотношение

${\displaystyle \sum _{\lambda _{n}<T}f_{n}(P)^{2}\sim {\frac {T^{N/2}}{(2{\sqrt {\pi }})^{N}\Gamma (N/2+1)}}}$,

где символ ${\displaystyle \sim }$ показывает, что частное обеих сторон стремится к 1, когда ${\displaystyle T}$ стремится к ${\displaystyle +\infty }$.^[1]

Функцию ${\displaystyle Z(s)}$ можно восстановить из ${\displaystyle Z(P,P,s)}$ путем интегрирования по всему многообразию ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \displaystyle Z(s)=\int _{M}Z(P,P,s)dP}$.

Аналитическое продолжение дзета-функции можно найти, выразив её через тепловое ядро

${\displaystyle K(P,Q,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(P)f_{n}(Q)e^{-\lambda _{n}t}}$

как преобразование Меллина

${\displaystyle Z(P,Q,s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(P,Q,t)t^{s-1}dt}$

В частности, имеем

${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(t)t^{s-1}dt}$

где

${\displaystyle K(t)=\int _{M}K(P,P,t)dP=\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\lambda _{i}t}}$

является следом теплового ядра.

Полюса дзета-функции можно найти из асимптотического поведения теплового ядра при t →0.

Если многообразие представляет собой окружность размерности ${\displaystyle N}$ = 1, то собственные значения лапласиана равны ${\displaystyle n^{2}}$ при целых ${\displaystyle n}$. Дзета-функция будет выражаться как

${\displaystyle Z(s)=\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{(n^{2})^{s}}}=2\zeta (2s)}$

где ζ — дзета-функция Римана.

Применяя метод теплового ядра к асимптотическому разложению риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$, получаем две следующие теоремы. Обе они являются решениями обратной задачи, в которой геометрические свойства или величины определяются из спектров операторов.

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ — ${\displaystyle n}$-мерное риманово многообразие. Тогда при ${\displaystyle t\to 0+}$ след теплового ядра имеет асимптотическое разложение вида

${\displaystyle K(t)\sim (4\pi t)^{-n/2}\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}t^{m}.}$

При ${\displaystyle \operatorname {dim} =2}$ это означает, что интеграл скалярной кривизны даёт нам эйлерову характеристику ${\displaystyle M}$ по теореме Гаусса–Бонне.

В частности,

${\displaystyle a_{0}=\operatorname {Vol} (M,g),\ \ \ \ a_{1}={\frac {1}{6}}\int _{M}S(x)dV}$

где ${\displaystyle S(x)}$ — скалярная кривизна, след кривизны Риччи на ${\displaystyle M}$.

Пусть ${\displaystyle M}$ — компактное риманово многообразие с собственными значениями ${\displaystyle 0=\lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\cdots ,}$ где каждое собственное значение повторяется с указанной кратностью. Определим ${\displaystyle N(\lambda )}$ как количество собственных значений, меньших или равных ${\displaystyle \lambda }$, и пусть ${\displaystyle \omega _{n}}$ обозначим объем единичного диска в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тогда

${\displaystyle N(\lambda )\sim {\frac {\omega _{n}\operatorname {Vol} (M)\lambda ^{n/2}}{(2\pi )^{n}}},}$

при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$. Кроме того, при ${\displaystyle k\to \infty }$,

${\displaystyle (\lambda _{k})^{n/2}\sim {\frac {(2\pi )^{n}k}{\omega _{n}\operatorname {Vol} (M)}}.}$

Эту формулу также называют законом Вейля, уточнённым на основе асимптотического разложения Минакшисундарама–Плейеля.

• Berger, Marcel; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond (1971), Le Spectre d'une Variété Riemannienne, Lecture Notes in Mathematics, vol. 194, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0064643, ISBN 978-3-540-05437-5, MR 0282313
• Carleman, Torsten (1935), Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes., 8. Skand. Mat.-Kongr. (фр.), pp. 34—44, Zbl 0012.07001