Дзета-функция Эйри

Дзета-функция Эйри — функция, аналогичная дзета-функции Римана и связанная с нулями функции Эйри:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}}}}$,

где ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — нули функции Эйри ${\displaystyle \mathrm {Ai} (a_{i})=0}$, упорядоченные по возрастанию величины: ${\displaystyle |a_{1}|<|a_{2}|<\cdots }$. (Функция Эйри положительна при положительных значениях ${\displaystyle x}$, но осциллирует при отрицательных значениях аргумента.) Ряд сходится, если действительная часть ${\displaystyle s}$ больше 3/2, и может быть аналитически продолжен для других значений ${\displaystyle s}$.

Введена и изучена Ричардом Крэндаллом в 1996 году.

Для функции существует и аналитическое выражение:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(s)={\frac {\pi T_{n-1}(0)}{\Gamma (n)}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, а ${\displaystyle T_{n}(z)}$ определяется рекурсивно по следующей формуле:

${\displaystyle T_{n}(z)=A\cdot C^{(n)}(z)-{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(\operatorname {Ai} (z)\operatorname {Bi} (z)\right)-\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{j}}C^{n-i}(z){\frac {d^{i-1}}{dz^{i-1}}}\operatorname {Ai} ^{2}(z)}$,

${\displaystyle A\equiv \int _{0}^{+\infty }\operatorname {Ai} ^{2}(z)\,dz={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{3}}\right)}},\,C(z)\equiv {\frac {\operatorname {Bi} (z)}{\operatorname {Ai} (z)}}}$.

Как и дзета-функция Римана, значение которой ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ есть решение базельской задачи, дзета-функция Эйри может быть точно вычислена в точке ${\displaystyle s=2}$:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}}}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3}})}{4\pi ^{2}}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция. Аналогичные результаты возможны и для других целых значений ${\displaystyle s}$.

Условлено считать, что аналитическое продолжение дзета-функции Эйри в точке 1 равно:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(1)=-{\frac {\Gamma ({\frac {2}{3}})}{\Gamma ({\frac {4}{3}}){\sqrt[{3}]{9}}}}}$.

Для вычисления значений функции в остальных целых точках, применяют также следующий приём — если определить:

${\displaystyle X={\frac {1}{2\pi \operatorname {Ai} (0)\operatorname {Bi} (0)}}={\frac {2\pi }{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{3}}\right)}}}$,

то установлено (Борвейн, 2004), что ${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(z),\,z\in \mathbb {Z} }$ всегда есть многочлен относительно ${\displaystyle X}$. В частности:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=X^{2}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(3)=X^{3}-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(4)=X^{4}-{\frac {X}{3}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(5)=X^{5}-{\frac {5X^{2}}{12}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(6)=X^{6}-{\frac {X^{3}}{2}}+{\frac {1}{20}}}$

• Crandall, Richard E. (1996), On the quantum zeta function, Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 29, no. 21, pp. 6795—6816, Bibcode:1996JPhA...29.6795C, doi:10.1088/0305-4470/29/21/014, ISSN 0305-4470, MR 1421901

• Weisstein, Eric W. Airy Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.