Дзета-функция мотивов

Дзета-функция мотивов — формальный степенной ряд для заданного гладкого алгебраического многообразия ${\displaystyle X}$^[1]:

${\displaystyle Z(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }[X^{(n)}]t^{n}}$,

где ${\displaystyle X^{(n)}}$ — ${\displaystyle n}$-я симметрическая степень ${\displaystyle X}$, то есть частное от деления ${\displaystyle X^{n}}$ действием симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$, а ${\displaystyle [X^{(n)}]}$ — класс ${\displaystyle X^{(n)}}$ в кольце мотивов.

Если базисное поле конечно и к нему применяется счётная мера ${\displaystyle Z(X,t)}$, то получатся локальная дзета-функция на ${\displaystyle X}$. Если базисное поле — поле комплексных чисел и применяется эйлерова характеристика с компактными носителями ${\displaystyle Z(X,t)}$, и функция выражается как ${\displaystyle 1/(1-t)^{\chi (X)}}$.

Мера мотивов — карта ${\displaystyle \mu }$ из множества схем конечного типа над полем ${\displaystyle k}$ к коммутативному кольцу ${\displaystyle A}$, удовлетворяющая трём свойствам:

${\displaystyle \mu (X)}$ зависит только от изоморфизма класса ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \mu (X)=\mu (Z)+\mu (X\setminus Z)}$ если ${\displaystyle Z}$ есть замкнутая подсхема ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \mu (X_{1}\times X_{2})=\mu (X_{1})\mu (X_{2})}$.

Например, если ${\displaystyle k}$ является конечным полем и ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ — кольцо целых чисел, тогда ${\displaystyle \mu (X)=\#(X(k))}$ определяет меру мотивов — счётную меру.

Если базисное поле — поле комплексных чисел, то эйлерова характеристика с компактными носителями определяет меру мотивов со значениями в целых числах.

Дзета-функция относительно меры мотивов ${\displaystyle \mu }$ является формальным степенным рядом в ${\displaystyle A[[t]]}$, задающимся следующим образом:

${\displaystyle Z_{\mu }(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (X^{(n)})t^{n}}$.

Это универсальная мера мотивов. Она принимает значения в ${\displaystyle K}$-кольце многообразий, ${\displaystyle A=K(V)}$, которое представляет собой кольцо, образованное символами ${\displaystyle [X]}$, для всех многообразий ${\displaystyle X}$, в соответствии с отношениями:

${\displaystyle [X']=[X]\,}$ если ${\displaystyle X'}$ и ${\displaystyle X}$ изоморфны,

${\displaystyle [X]=[Z]+[X\setminus Z]}$ если ${\displaystyle Z}$ есть замкнутое подмногообразие ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle [X_{1}\times X_{2}]=[X_{1}]\cdot [X_{2}]}$.

Универсальная мера мотивов порождает дзета-функцию мотивов.

Если ${\displaystyle \mathbb {L} =[{\mathbb {A} }^{1}]}$ — класс аффинной прямой, то:

${\displaystyle Z({\mathbb {A} },t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }t}}}$

${\displaystyle Z({\mathbb {A} }^{n},t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{n}t}}}$

${\displaystyle Z({\mathbb {P} }^{n},t)=\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{i}t}}}$

Если ${\displaystyle X}$ является гладкой проективной неприводимой кривой рода ${\displaystyle g}$ допуская линейное расслоение степени 1 и мера мотивов принимает значения в поле, в котором ${\displaystyle {\mathbb {L} }}$ обратимо, тогда:

${\displaystyle Z(X,t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-{\mathbb {L} }t)}}}$,

где ${\displaystyle P(t)}$ является многочленом степени ${\displaystyle 2g}$. Таким образом, в данном случае дзета-функция мотивов рациональна. В высших измерениях дзета-функция мотивов не всегда рациональна.

Если ${\displaystyle S}$ представляет собой гладкую поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики ${\displaystyle 0}$, то производящая функция для мотивов схем Гильберта ${\displaystyle S}$ может быть выражена через дзета-функцию мотивов по формуле Гётше:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[S^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }Z(S,{\mathbb {L} }^{m-1}t^{m})}$,

где ${\displaystyle S^{[n]}}$ является схемой Гильберта длины ${\displaystyle n}$ подсхемы ${\displaystyle S}$. Для аффинной плоскости эта формула даёт:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[({\mathbb {A} }^{2})^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{m+1}t^{m}}}}$,

по сути являющуюся функцией распределения^{[уточнить]}.

Marcolli, Matilde. Feynman Motives. — World Scientific, 2010. — P. 115. — ISBN 9789814304481.