Дилемма путешественника

Дилемма путешественника — это игра с ненулевой суммой, в которой каждый игрок предлагает свою ставку. Меньшая из двух ставок выигрывает. Игрок с меньшей ставкой получает величину ставки плюс небольшой бонус, а игрок с большей ставкой получает ту же сумму низкой ставки, но за вычетом небольшого штрафа. Удивительно, но равновесие по Нэшу происходит, когда оба игрока играют на понижение. Дилемма путешественника интересна тем, что наивная стратегия оказывается более выгодной, чем равновесие Нэша. Тот же парадокс проявляется в игре «стоножка» и конечно-итеративной дилемме заключённого.

Первоначальный сценарий игры сформулировал в 1994 году Каушик Басу^[1][2]:

«Авиакомпания теряет два чемодана, принадлежащих двум разным путешественникам. Оба чемодана оказались одинаковыми и содержат одинаковые предметы антиквариата. Одному из менеджеров авиакомпании поручено урегулировать претензии путешественников и он им объясняет, что авиакомпания несет ответственность в размере не более 100 долларов за каждый чемодан, поскольку не может напрямую узнать цену антиквариата.»

«Чтобы определить точную оценочную стоимость антиквариата, менеджер отделяет обоих путешественников друг от друга, чтобы они не могли общаться, и просит их записать сумму стоимости в размере не менее 2 долларов и не более 100 долларов. Он также говорит им, что если они оба запишут одинаковое число, он будет считать это число истинной стоимостью обоих чемоданов и возместит обоим путешественникам эту сумму. Однако, если один из них запишет меньшее число, чем другой, это меньшее число будет принято за истинное значение и оба получат эту сумму. Кроме того, бонус в 2 доллара будет выплачен тому, кто записал меньшее значение, и будут удержаны 2 доллара с того, кто записал большую сумму. Какую стратегию должны выбрать путешественники?»

Оба путешественника пытаются максимизировать собственную выгоду не заботясь о выгоде другого игрока.

Можно ожидать, что оптимальным выбором путешественников будет $100. То есть, указать максимальную цену, указанную менеджером. Примечательно, и, по мнению многих, парадоксально, что равновесное решение по Нэшу на самом деле составляет всего 2 доллара. То есть, минимальную цену, указанную менеджером.

Чтобы понять, почему именно $2 является равновесием по Нэшу, рассмотрим следующее доказательство:

• Алиса, потерявшая свои вещи, запрашивает свою цену, она считает, что цена равна $100, максимальная возможная цена.
• Поразмыслив, она понимает, что её попутчик Боб тоже мог бы предложить 100 долларов . Она передумывает и решает запросить $99, так что если Боб запросит $100, она получит $101.
• Боб, будучи точно в такой же ситуации, может также решить, что лучше запросить $99. Так что Алиса опять меняет своё решение и решает запросить $98, так что, если Боб запросит $99, она получит $100. Это больше, чем если бы и Боб, и Алиса запросили бы по $99.
• Этот цикл размышлений продолжается, и в конце концов Алиса решает запросить $2, минимальную разрешённую сумму.

Другое доказательство:

• Если Алиса хочет максимизировать только свою выгоду, выбор $99 первосходит выбор $100. Если Боб выбирает значение между 2 и 98, выбор Алисы $99 и $100 даёт одинаковую компенсацию. Если же Боб выбирает $99 или $100, выбор $99 даст Алисе лишний доллар.
• Аналогичные размышления показывают, что выбор $98 всегда лучше для Алисы, чем выбор $99. Единственная ситуация, когда выбор $99 будет выгоднее, чем выбор $98, будет, если Боб выбирает $100, но Боб ищет только свою собственную выгоду, так что он всегда выберет $99 вместо $100.
• Эту логическую цепочку можно применить ко «всем» вариантам Алисы, пока она, наконец, не достигнет 2 долларов, самой низкой цены .

Возмещение ($2, $2) в данном случае является равновесием Нэша игры. По определению это означает, что, если оппонент выбирает это равновесное значение по Нэшу, вашим лучшим выбором будет значение в $2 равновесия Нэша. Это не будет оптимальным выбором, если есть вероятность, что ваш оппонент выберет более высокую сумму, чем 2 доллара^[3]. Когда игру проводили экспериментально, большинство участников выбирали значение ближе к $100 (соответствующее оптимальному по Парето решению). Точнее, стратегия равновесия Нэша оказалась плохим предсказанием поведения людей в ситуации дилеммы путешественника с небольшим бонусом/вычетом и довольно хорошим предсказанием, если бонус/вычет был большим^[4].

Более того, путешественники получают вознаграждение, сильно отклоняясь от равновесия Нэша в игре, и получают гораздо более высокие вознаграждения, чем можно было бы получить при использовании чисто рациональной стратегии. Эти эксперименты показывают, что большинство людей не используют чисто рациональные стратегии, но стратегии, которые они используют, явно оптимальны. Этот парадокс может снизить ценность чисто теоретического анализа игр, но также может указывать на преимущество расширенного рассуждения, которое позволяет понять, как может быть вполне рациональным делать нерациональный выбор, по крайней мере, в контексте игр, в которых есть игроки, на которых можно положиться, что они не будут играть «рационально». Например, Капраро предложил модель, в которой люди априори не действуют как одиночки, но они прогнозируют, как будет проходить игра, если они объединятся, а затем действуют так, чтобы максимально улучшить прогноз. Его модель довольно хорошо согласуется с экспериментальными данными по дилемме путешественника и подобным играм^[5]. Недавно «дилемма путешественника» была протестирована на примере принятия решений группами, а не индивидуально, чтобы проверить предположение о том, что групповые решения более рациональны, и показать, что, как правило, две головы лучше, чем одна^[6]. Результаты экспериментов показывают, что группы всегда более рациональны – т.е. их требования ближе к равновесию Нэша - и более чувствительны к размеру бонуса/вычета^[7].

Некоторые игроки, по-видимому, придерживаются байесовского равновесия Нэша^[8][9].

Дилемму путешественника можно представить как повторяющуюся дилемму заключенного^[8][9]. Похожие парадоксы возникают в играх «стоножка» и «Кейнсианский конкурс красоты»^[7] (или более конкретно, «Угадать 2/3 среднего»). Одна из вариаций оригинальной дилеммы путешественника, в которой обоим путешественникам предлагается только два целых варианта выбора, 2 или 3 доллара, математически идентична стандартной не повторяющейся дилемме заключенного, и, таким образом, дилемму путешественника можно рассматривать как расширение дилеммы заключенного. (Минимальная гарантированная выплата составляет 1 доллар, и каждый доллар сверх этой суммы может рассматриваться как эквивалент одного года, снятого с трехлетнего тюремного срока.) Эти игры предполагают глубокое последовательное исключение доминируемых стратегий чтобы продемонстрировать равновесие Нэша, и, как правило, приводят к экспериментальным результатам, которые заметно отличаются от предсказаний классической теории игр.

Каноническая матрица платежей показана ниже (если рассматриваются только целочисленные значения):

Если обозначить через ${\displaystyle S=\{2,...,100\}}$ множество стратегий, доступных обоим игрокам, а через ${\displaystyle F:S\times S\rightarrow \mathbb {R} }$ функцию платежа одного из них, мы можем записать

${\displaystyle F(x,y)=\min(x,y)+2\cdot \operatorname {sgn}(y-x)}$

(Обратите внимание, что другой игрок получает ${\displaystyle F(y,x)}$ поскольку игра является количественно симметричной).