Дилогарифм

Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}$ и является частным случаем полилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$ при ${\displaystyle n=2}$. Дилогарифм определяется как

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.}$

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной ${\displaystyle z}$. Для действительных значений ${\displaystyle z=x}$ у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle \infty }$. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

${\displaystyle \operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\right\}}$

Функцию ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году^[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function) или интегралом Спенса^[2] в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)^[3], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие ${\displaystyle -\mathrm {Li} _{2}(-z)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1-z)}$. Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2})}$ (тождество Ландена)

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-\ln z\;\ln(1-z)}$ (формула отражения Эйлера)

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}{\ln ^{2}(1+z)}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}$ (формула инверсии)

Для действительных ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{4}}+\operatorname {Li} _{2}(-x)-\operatorname {Li} _{2}(x)+\ln(x)\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

Для действительных ${\displaystyle x>1}$,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1}{3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x}}$

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}}$

Используя соотношение между функциями от ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle 1/x}$, получаем

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2}}$

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением ${\displaystyle \phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})}$,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

а также для дилогарифма мнимого аргумента,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i}})=-{\textstyle {\frac {1}{48}}}\pi ^{2}\pm {\rm {i}}G}$

где ${\displaystyle G}$ — постоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+\ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{8}}}\right)}$

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\sqrt {2}}-1\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\sqrt {2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{8}}-{\frac {1}{2}}\ln ^{2}\left({\sqrt {2}}+1\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\sqrt {2}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=-{\frac {1}{2}}\ln ^{2}\left({\sqrt {2}}+1\right)}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[x\ln \left(1-e^{x}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(e^{x}\right)-{\frac {x^{2}}{2}}\right]={\frac {\pi ^{2}}{3}}}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x^{2}\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}\cos ^{n}(x)\cos(nx)dx={\frac {\pi ^{3}}{72}}-{\frac {\pi }{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x^{2}}{1+3\cos ^{2}x}}dx={\frac {\pi ^{3}}{48}}+{\frac {\pi }{4}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{1+nx^{2}}}dx={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left({\frac {3\pi ^{2}}{32}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {n}}-1}{{\sqrt {n}}+1}}\right)+{\frac {1}{8}}\operatorname {Li} _{2}\left(-\left({\frac {1-{\sqrt {n}}}{1+{\sqrt {n}}}}\right)^{2}\right)-{\frac {\pi }{4}}\arccos \left({\sqrt {\frac {n}{n+1}}}\right)\right)}$

• Функция Клаузена ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta )+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta ),\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )}$

Таким образом,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]}$

• Функция Лобачевского

Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),

${\displaystyle L(\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}}$

Иногда используется другое определение функции Лобачевского,

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )}$

• Интегральный арктангенс ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)}$

Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^{2})+{\rm {i}}\;\operatorname {Ti} _{2}(y)}$

Таким образом,

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2}(-{\rm {i}}y)\right]}$

• Функция Лежандра ${\displaystyle {\displaystyle {\chi _{2}(z)}}}$

Эта функция выражается через дилогарифмы как

${\displaystyle \chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2}}}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]}$

В частности, ${\displaystyle \chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)}$.

• Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR: 0105524
• Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
• Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
• Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.