Дискретное преобразование Абеля

Дискретным преобразованием А́беля называют следующее тождество:

${\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},}$

где ${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 1}$, ${\displaystyle (a_{k}),(b_{k}),(B_{k})}$ — последовательности ${\displaystyle (k\in \mathbb {N} )}$, при этом ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}}$ и ${\displaystyle B_{0}=0}$. Это преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}}$

что и требовалось доказать.