Дифракция на N щелях

Дифракция на N щелях — это частная задача оптики, где рассматривается дифракция на нескольких щелях в непроницаемом экране.

Рассмотрим сначала математическое представление принципа Гюйгенса:

${\displaystyle \Psi =\int _{slit}{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,dslit}$

Рассмотрим N щелей в экране с равными ширинами (a, ${\displaystyle \infty }$, 0) и расстояниями d между ними вдоль оси x′. Расстояние r от первой щели задаётся формулой:

${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Для обобщения на N щелей, заметим, что z и y остаются постоянными, когда x′ сдвигается на

${\displaystyle x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd}$

Таким образом,

${\displaystyle r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

и сумма по всем N вкладам в амплитуду:

${\displaystyle \Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$

Замечая, что величина ${\displaystyle {\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}}$ мала при рассмотрении дифракции Фраунгофера, и ${\displaystyle e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1}$, получим:

${\displaystyle \Psi }$	${\displaystyle =C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }}$
	${\displaystyle =C\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}}$
	${\displaystyle =C\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}}$
	${\displaystyle =C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=1}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }}$

Теперь используем следующее равенство:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.}$

Подставляя в наше уравнение, приходим к выражению:

${\displaystyle \Psi }$	${\displaystyle =C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)}$
	${\displaystyle =C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)}$
	${\displaystyle =C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)}$
	${\displaystyle =C{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}}$

поставим k в виде ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}}$ и представляя все неосциллирующие постоянные как ${\displaystyle I_{0}}$, как в дифракции на одной щели. Помня ${\displaystyle \langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\rangle \ =e^{0}=1}$, получим для интенсивности света ответ:

${\displaystyle I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}}$