Естественное расслоение

Естественное расслоение — это любое локально тривиальное расслоение, связанное с расслоением s-репера. ${\displaystyle F^{s}(M)}$ для некоторых ${\displaystyle s\geq 1}$ . Оказывается, что его переходные функции функционально зависят от локальных изменений координат в базовом многообразии . ${\displaystyle M}$ вместе с их частными производными до порядка не выше ${\displaystyle s}$^[1].

Понятие естественного расслоения было введено Альбертом Нийенхейсом как современная переформулировка классического понятия произвольного расслоения геометрических объектов^[2].

Пусть ${\displaystyle Mf}$ обозначают категорию гладких многообразий и гладких отображений и ${\displaystyle Mf_{n}}$ категория гладких ${\displaystyle n}$ -мерные многообразия и локальные диффеоморфизмы . Рассмотрим также категорию ${\displaystyle {\mathcal {FM}}}$ расслоенных многообразий и морфизмов расслоений, а также функтор ${\displaystyle B:{\mathcal {FM}}\to {\mathcal {M}}f}$ сопоставляющий любому расслоенному многообразию его базовое многообразие.

Естественное расслоение (или функтор расслоения) — это функтор ${\displaystyle F:{\mathcal {M}}f_{n}\to {\mathcal {FM}}}$ удовлетворяющий следующим трем свойствам:

1. ${\displaystyle B\circ F=\mathrm {id} }$, то есть ${\displaystyle B(M)}$ является расслоенным многообразием над ${\displaystyle M}$, с проекцией обозначаемой ${\displaystyle p_{M}:B(M)\to M}$;
2. если ${\displaystyle U\subseteq M}$ — открытое подмногообразие, с отображением включения ${\displaystyle i:U\hookrightarrow M}$, тогда ${\displaystyle F(U)}$ совпадает с ${\displaystyle p_{M}^{-1}(U)\subseteq F(M)}$, и ${\displaystyle F(i):F(U)\to F(M)}$ является включением ${\displaystyle p^{-1}(U)\hookrightarrow F(M)}$;
3. для любого гладкого отображения ${\displaystyle f:P\times M\to N}$ такого, что ${\displaystyle f(p,\cdot ):M\to N}$ является локальным диффеоморфизмом для любого ${\displaystyle p\in P}$, тогда функция ${\displaystyle P\times F(M)\to F(N),(p,x)\mapsto F(f(p,\cdot ))(x)}$ является гладкой.

Вследствие первого условия происходит естественная трансформация ${\displaystyle p:F\to B}$ .

Натуральный пучок ${\displaystyle F:Mf_{n}\to Mf}$ называется конечного порядка ${\displaystyle r}$ если для каждого локального диффеоморфизма ${\displaystyle f:M\to N}$ и каждая точка ${\displaystyle x\in M}$, карта ${\displaystyle F(f)_{x}:F(M)_{x}\to F(N)_{f(x)}}$ зависит только от струи ${\displaystyle j_{x}^{r}f}$ . Эквивалентно, для любого локального диффеоморфизма ${\displaystyle f,g:M\to N}$ и каждая точка ${\displaystyle x\in M}$, один имеет $${\displaystyle j_{x}^{r}f=j_{x}^{r}g\Rightarrow F(f)|_{F(M)_{x}}=F(g)|_{F(M)_{x}}.}$$ Естественные пучки порядка ${\displaystyle r}$ совпадают с соответствующими пучками волокон к ${\displaystyle r}$ пучки рамок -го порядка ${\displaystyle F^{s}(M)}$ .

Классический результат Эпштейна и Терстона показывает, что все натуральные расслоения имеют конечный порядок^[3].

Примером натурального расслоения (первого порядка) является касательное расслоение ${\displaystyle TM}$ коллектора ${\displaystyle M}$ .

Другие примеры включают кокасательные расслоения, расслоения метрик сигнатуры ${\displaystyle (r,s)}$ и пучок линейных связей^[4].

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, Архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017, Дата обращения: 15 августа 2017
• Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Lectures on differential invariants, Univerzita J. E. Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
• Saunders, D.J. (1989), The geometry of jet bundles, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7