Изгиб пластин

Изгиб пластин в теории упругости относится к расчёту деформаций в пластинах (в общем случае произвольной толщины, но малым по сравнению с продольными размерами), под действием перпендикулярных к плоскости пластины внешних сил и моментов. Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин в зависимости от допущений на малость тех или иных параметров. По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. При известных напряжениях можно использовать теорию разрушения, чтобы определить, нарушение целостности плиты при данной нагрузке. Деформация пластины является функцией двух координат, поэтому теория пластин формулируется в общем случае в терминах дифференциальных уравнений в двумерном пространстве. Также считается, что пластина изначально (в ненапряжённом состоянии) имеет плоскую форму.

Для тонкой прямоугольной пластины толщиной ${\displaystyle H}$, модулем Юнга ${\displaystyle E}$ и коэффициентом Пуассона ${\displaystyle \nu }$, можно определить упругие параметры в терминах прогиба пластины ${\displaystyle w}$.

В декартовой системе координат жёсткость при изгибе определяется

${\displaystyle D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}.}$

Изгибные моменты на единицу длины задаются^[1]

${\displaystyle M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right),}$

${\displaystyle M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right).}$

Крутящий момент на единицу длины определяется

${\displaystyle M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}.}$

Сдвиговые силы на единицу длины определяются выражением^[2]

${\displaystyle Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right),}$

${\displaystyle Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right).}$

Компоненты изгибных напряжений определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right).}$

Напряжение сдвига задается

${\displaystyle \tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}.}$

Изгибающие деформации в теории для малых отклонений определяются

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}},}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}.}$

Деформации сдвига в теории для малых отклонений задаются

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=-2z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}.}$

В теории для больших отклонений пластин рассматривают деформации мембран в виде

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2},}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}\right)^{2},}$

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}.}$

Эти прогибы определяются

${\displaystyle u=-z{\frac {\partial w}{\partial x}},}$

${\displaystyle v=-z{\frac {\partial w}{\partial y}}.}$

В теории пластин Кирхгофа — Лява система определяющих уравнений состоит из^[3]

${\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0}$

и

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0.}$

Или в развёрнутой (координатной) форме

${\displaystyle {\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0,}$

и

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q.}$

где ${\displaystyle q(x)}$ приложенная поперечная нагрузка на единицу площади, а толщина плиты равна ${\displaystyle H=2h}$, напряжения ${\displaystyle \sigma _{ij}}$, и

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.}$

Величина ${\displaystyle N}$ имеет размерность единицы силы на единицу длины. Величина ${\displaystyle M}$ имеет размерность единицы момента на единицу длины.

Для изотропных, однородных пластин с модулем Юнга ${\displaystyle E}$ и коэффициентом Пуассона ${\displaystyle \nu }$ эти уравнения сводятся к^[4]

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}}$

где ${\displaystyle w(x_{1},x_{2})}$ прогиб средней поверхности пластины.

Малые прогибы тонких прямоугольных пластин описываются уравнением тонкой пластины Жермен — Лагранжа

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}.}$

Это уравнение было впервые выведено Лагранжем в декабре 1811 г. который исправил доклад Софи Жермен.

Большой прогиб тонких прямоугольных пластин описывается уравнениями для пластины Феппля — фон Кармана

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right],}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D}}\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right),}$

где ${\displaystyle F}$ функция напряжения.

Изгиб круглых пластин можно изучить, решив основное уравнение с соответствующими граничными условиями. Эти решения были впервые найдены Пуассоном в 1829 году. Для таких задач удобны цилиндрические координаты. z расстояние точки от средней плоскости пластины.

Основное уравнение в безкоординатной форме имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

В цилиндрических координатах ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$,

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}$

Для симметрично нагруженных круглых пластин, где изгиб зависит от только радиуса ${\displaystyle w=w(r)}$ получим

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}$

Следовательно, основное уравнение приобретёт вид обыкновенного дифференциального уравнения^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Если ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle D}$ постоянны, то прямое интегрирование основного уравнения имеет решение

${\displaystyle w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+{\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}}$

где ${\displaystyle C_{i}}$ константы интегрирования. Наклон отклоняющей поверхности равен

${\displaystyle \phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.}$

Для круглой пластины требование конечности прогиба и крутизны прогиба при ${\displaystyle r=0}$ подразумевает, что ${\displaystyle C_{1}=0}$. Однако, ${\displaystyle C_{3}}$ не обязательно равняется 0, так как правый предел ${\displaystyle r\ln r\,}$ существует по мере приближения к началу координат ${\displaystyle r=0}$.

Для круглой пластины (радиуса a) с зажатыми краями ${\displaystyle w(a)=0}$ и ${\displaystyle \phi (a)=0}$ на краю пластины. Подставляя эти граничные условия в общее решение получаем^[6]

${\displaystyle w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi (r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.}$

Смещения пластины в плоскости равны

${\displaystyle u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and}}\quad u_{\theta }(r)=0\,.}$

Плоские деформации в пластине равны

${\displaystyle \varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~,~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2})~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.}$

Напряжения в плоскости пластины равны

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _{rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.}$

Для плиты толщиной ${\displaystyle 2h}$, жесткость на изгиб ${\displaystyle D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]}$ и

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}}$

Результирующие моменты (изгибные моменты) равны

${\displaystyle M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~;~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]~;~~M_{r\theta }=0\,.}$

Максимальное радиальное напряжение при ${\displaystyle z=h}$ и ${\displaystyle r=a}$:

${\displaystyle \left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa^{2}}{4H^{2}}}}$

где ${\displaystyle H:=2h}$. Изгибающие моменты на границе и в центре пластины равны^[7]

${\displaystyle \left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.}$

^[8]

Для прямоугольных пластин Навье в 1820 году ввел простой метод определения смещения и напряжения, когда пластина опирается на края. Идея заключалась в том, чтобы выразить приложенную нагрузку в терминах компонент ряда Фурье, найти решение для синусоидальной нагрузки (одна гармоника Фурье), а затем сложить гармоники Фурье, чтобы получить решение для произвольной нагрузки.

Предположим, что нагрузка имеет вид^[9]

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Здесь ${\displaystyle q_{0}}$ амплитуда, ${\displaystyle a}$ ширина пластины в направлении ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle b}$ ширина пластины в направлении ${\displaystyle y}$.

Поскольку пластина просто поддерживается на краях, то смещение ${\displaystyle w(x,y)}$ на краях пластины равно нулю, и изгибающий момент ${\displaystyle M_{xx}}$ также равен нулю на границах ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle M_{yy}}$ равен нулю на границах ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=b}$.

При этих граничные условиях и решение уравнения для пластины имеет вид^[10]

${\displaystyle w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Где D жесткость на изгиб

${\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}.}$

Analogous to flexural stiffness EI.^[11] Напряжения и деформации в пластине можно рассчитать, если знаем смещение.

При общей нагрузки в виде

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ целые, получим решение^[12]

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.}$

Определяем общую нагрузку ${\displaystyle q(x,y)}$ в виде^[12]

${\displaystyle q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

где ${\displaystyle a_{mn}}$ коэффициент Фурье, определяемый формулой^[13]

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Таким образом, классическое уравнение прямоугольной пластины для малых прогибов принимает следующий вид:

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Предполагаем решение ${\displaystyle w(x,y)}$ вида

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Частные дифференциалы этой функции даются выражениями

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}.}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}},}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}.}$

Подставляя эти выражения в уравнение для пластины, получим

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_{mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Приравнивая два ряда получим для коэффициентов

${\displaystyle \left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}}$

или при перестановки получим

${\displaystyle w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}}$

Прогиб свободно опертой пластины (на углах) при общей нагрузке задаётся выражением^[13]

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

Таким образом, соответствующий коэффициент Фурье определяется выражением

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Вычисляя двойной интеграл, имеем

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )}$,

или в другом виде кусочно-заданной функции

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd}}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$

Прогиб свободно опертой пластины (с условиями на углах) с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением

${\displaystyle w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением

${\displaystyle M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Другой подход был предложен Леви^[14] в 1899 году. В этом случае мы начинаем с предполагаемой формы смещения и пытаемся подогнать параметры так, чтобы выполнялись определяющее уравнение и граничные условия. Цель — найти рашения основного уравнения ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D}$${\displaystyle Y_{m}(y)}$ такие, что они удовлетворяют граничным условиям при ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=b}$.

Предположим, что^[15]

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Для пластины, которая свободно опирается краями при ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$, граничные условия: ${\displaystyle w=0}$ и ${\displaystyle M_{xx}=0}$. Обратите внимание, что на этих краях нет изменений смещения, что означает ${\displaystyle \partial w/\partial y=0}$ и ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial y^{2}=0}$, сводя, таким образом, моментное граничное условие к эквивалентному выражению ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial x^{2}=0}$.

Рассмотрим случай чисто моментной нагрузки. В этом случае ${\displaystyle q=0}$ и функция ${\displaystyle w(x,y)}$ должна удовлетворять уравнению ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$. В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение выражается как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.}$

Подставляем выражение для ${\displaystyle w(x,y)}$ в основное уравнение что приводит к^[16]

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\right]=0}$

или

${\displaystyle {\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{m}=0\,.}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее общее решение^[17]

${\displaystyle Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}}$

где ${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m}}$ константы, которые можно определить из граничных условий. Следовательно, изгибное решение имеет вид

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Выберем систему координат так, чтобы границы пластины находились на краях при ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$, при ${\displaystyle y=\pm b/2}$. Тогда граничные условия на моменты при ${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1}(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2}(x)}$

где ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$ известные функции. Решение можно найти, используя эти граничные условия. Можно показать, что для симметричного случая, когда

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

и

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

получим^[18]

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right)}$

где

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.}$

Аналогично для антисимметричного случая, когда

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

получим^[19]

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\right)\,.}$

Используя симметричные и антисимметричные решения, можно составить более общие решения.

Для равномерно распределенной нагрузки

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

Отклонение опёртой пластины с центром при ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},0\right)}$ с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{where}}\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&G_{m}={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end{aligned}}\end{aligned}}}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражениями

${\displaystyle M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(\nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

${\displaystyle M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(1-\nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

Для частного случая, когда нагрузка симметрична и момент однороден, при ${\displaystyle y=\pm b/2}$,

${\displaystyle M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.}$

Результирующий изгиб равен

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m}}}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a}}\,.}$

Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению ${\displaystyle w}$ находятся по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}}$

Напряжения

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Цилиндрический изгиб возникает, когда прямоугольная пластина имеющая размеры ${\displaystyle a\times b\times h}$, где ${\displaystyle a\ll b}$ и малую толщину ${\displaystyle h}$, подвергается равномерной распределенной нагрузке, перпендикулярной плоскости пластины. Такая пластина имеет форму поверхности цилиндра.

С помощью методов Навье и Леви также можно найти решения для свободно опёртых пластин при цилиндрическом изгибе с различным количеством незакреплённых краёв^[21].

Для толстых пластин необходимо учитывать влияние сдвиговых напряжений по толщине на ориентацию нормали к средней поверхности после деформации. Теория Миндлина предлагает единый подход к нахождению деформации и напряжений в таких пластинах. Решения теории Миндлина можно получить из эквивалентных решений Кирхгофа-Лява с использованием канонических соотношений^[22].

Канонические уравнения для изотропных толстых пластин можно записать в виде^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle q}$ приложенная поперечная нагрузка, ${\displaystyle G}$ модуль сдвига, ${\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]}$ жесткость на изгиб, ${\displaystyle h}$ толщина пластины, ${\displaystyle c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]}$, ${\displaystyle \kappa }$ коэффициент поправки сдвигового напряжения, ${\displaystyle E}$ модуль Юнга, ${\displaystyle \nu }$ коэффициент Пуассона и

${\displaystyle {\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.}$

Согласно теории Миндлина ${\displaystyle w}$ поперечное смещение средней поверхности пластины, а величины ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ соответственные повороты нормали к средней поверхности относительно ${\displaystyle x_{2}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$-осей. Канонические параметры этой теории ${\displaystyle {\mathcal {A}}=1}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}=0}$. Коэффициент поправки сдвигового напряжения ${\displaystyle \kappa }$ обычно принимают за ${\displaystyle 5/6}$.

Решения основных уравнений можно найти, если знать соответствующие решения Кирхгофа-Лява с помощью соотношений

${\displaystyle {\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle w^{K}}$ это смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа-Лява, ${\displaystyle \Phi }$ бигармоническая функция такая, что ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0}$, ${\displaystyle \Psi }$ функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, ${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =0}$ и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K}&=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c^{2}\Omega \,.\end{aligned}}}$

Для свободно опертых пластин сумма моментов Маркуса равна нулю

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.}$

В этом случае функции ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle \Psi }$, ${\displaystyle \Omega }$ равны нулю, а решение Миндлина связано с соответствующим решением Кирхгофа соотношением

${\displaystyle w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.}$

Теория Рейсснера-Штейна для консольных пластин^[23] приводит к следующим связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям для консольной пластины с сосредоточенной нагрузкой на торце ${\displaystyle q_{x}(y)}$ в точке ${\displaystyle x=a}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}}$

и граничных условиях в точке ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

Решение этой системы двух ОДУ дает

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\left[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\,\left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(x-a)]}}+\tanh[\nu _{b}(x-a)]\right)\right]\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )}}/b}$. Изгибные моменты и поперечные силы, соответствующие смещению ${\displaystyle w=w_{x}+y\theta _{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {x-a}{b}}\right)-\left[{\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\times \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\sinh[\nu _{b}(x-a)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\left[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_{x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(x-a)]}}\right)\times \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x-2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\right.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(x-a)]+23\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}}$

Напряжения

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Если приложенная нагрузка на краю постоянна, мы восстанавливаем решения для балки при сосредоточенной торцевой нагрузке. Если приложенная нагрузка — линейная функция ${\displaystyle y}$, то

${\displaystyle q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b^{2}q_{0}}{12}}\,.}$

• S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. Теория пластин и оболочек = Theory of plates and shells. — New York: McGraw-Hill, 1959. — 594 с. — ISBN 0-07-085820-9.

.