Коммутирующие матрицы

Две квадратные матрицы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одного размера n×n коммутируют (или перестановочны), если ${\displaystyle AB=BA}$ . Их коммутатор ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ равен нулевой матрице тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ коммутируют. Множество квадратных матриц ${\displaystyle {\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{k}\}}}$ размера n×n коммутирует, если

${\displaystyle {\displaystyle \forall i,j\in {1,...,k}\qquad A_{i}A_{j}=A_{j}A_{i}}}$.

• Коммутирующие матрицы сохраняют собственные подпространства друг друга^[1]. Как следствие, коммутирующие матрицы над алгебраически замкнутым полем одновременно триангуляризуемы, то есть существуют базисы, над которыми матрицы становятся верхними треугольными. Другими словами, если ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ перестановочны, существует матрица подобия ${\displaystyle P}$, такая что ${\displaystyle P^{-1}A_{i}P}$ является верхней треугольной для всех ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$. Обратное не всегда верно, как показывает следующий контрпример:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}}$

Однако если квадрат коммутатора двух матриц равен нулю, то есть ${\displaystyle [A,B]^{2}=0}$, то обратное верно^[2].

• Если матрицы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одновременно диагонализируемы, то есть существует матрица подобия ${\displaystyle P}$, такая что ${\displaystyle P^{-1}AP}$ и ${\displaystyle P^{-1}BP}$ обе диагональны, то ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ перестановочны. Обратное не обязательно верно, поскольку одна из матриц может не быть диагонализируема, например

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$, но ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ не диагонализируема

Если, однако, обе матрицы диагонализируемы, то они могут быть диагонализируемы одновременно.

• Если одна из матриц обладает свойством, что её минимальный многочлен совпадает с характеристическим многочленом (то есть он имеет максимальную степень), что случается, в частности, когда характеристический многочлен имеет только простые корни, то вторая матрица может быть записана в виде полинома от первой матрицы.
• Как прямое следствие одновременной триангуляризации, собственные значения двух перестановочных комплексных матриц A и B с их алгебраическими кратными (мультимножествами корней их характеристических многочленов) можно сопоставить ${\displaystyle \alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}}$ так, что множества собственных значений любого многочлена ${\displaystyle P(A,B)}$ двух матриц является мультимножеством значений ${\displaystyle P(\alpha _{i},\beta _{i})}$. Эта теорема принадлежит Фробениусу^[3].
• Две эрмитовы матрицы коммутируют, если их собственные подпространства совпадают. В частности, две эрмитовы матрицы без кратных собственных значений коммутируют, если их множества собственных векторов совпадают. Это следует из рассмотрения собственных значений обоих матриц. Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ будут двумя эрмитовыми матрицами. ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ имеют общие собственные подпространства, если они могут быть записаны как ${\displaystyle A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }}$ и ${\displaystyle B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }}$. Следует также

${\displaystyle AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger }U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _{1}U^{\dagger }=BA.}$

• Свойство двух матриц быть перестановочными не транзитивно — матрица ${\displaystyle A}$ может коммутировать как с ${\displaystyle B}$, так и с ${\displaystyle C}$, но матрицы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ друг с другом не коммутируют. Простейший пример: единичная матрица ${\displaystyle I}$ коммутирует с любой матрицей, однако, например, матрицы ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$ между собой не коммутируют (${\displaystyle BC\neq CB}$), хотя каждая из них коммутирует с ${\displaystyle I}$. Если множество рассматриваемых матриц ограничено эрмитовыми матрицами без кратных собственных значений, то коммутативность транзитивна, как следствие характеризации в терминах собственных векторов.
• Теорема Ли, которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно триангуляризуемо к верхней треугольной, можно рассматривать как обобщение.
• Матрица ${\displaystyle A}$ коммутирует с любой другой матрицей тогда и только тогда, когда она является скалярной матрицей, то есть матрицей вида ${\displaystyle \lambda \cdot E}$, где ${\displaystyle E}$ представляет единичную матрицу, а ${\displaystyle \lambda }$ является скаляром.

• Пусть ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {F} )}$ – алгебра квадратных матриц порядка n над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {F} ):}$

${\displaystyle I_{n}A=AI_{n}=A}$ где ${\displaystyle I_{n}=(\delta _{ij})}$(символ Кронекера). Следовательно, ${\displaystyle [I_{n},A]=0}$.

• Пусть ${\displaystyle J_{n}(\lambda )\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {F} )}$ – жорданова клетка с собственным значением ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle J_{n}(\lambda )=\lambda I_{n}+N,\quad N=(\delta _{i+1,j})}$(нильпотентная матрица с единицами на наддиагонали). Тогда ${\displaystyle \forall B\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {F} )}$:${\displaystyle [B,J_{n}(\lambda )]=0\iff B=p(J_{n}(\lambda ))=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}N^{k}}$для некоторых ${\displaystyle \alpha _{k}\in \mathbb {F} }$. Множество таких ${\displaystyle B}$ образует коммутативную подалгебру, изоморфную ${\displaystyle \mathbb {F} [x]/\langle x^{n}\rangle }$

• Пусть ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),A^{\top }=A,B^{\top }=B}$ Тогда:${\displaystyle AB=BA\iff (AB)^{\top }=AB}$. Доказательство:${\displaystyle (AB)^{\top }=B^{\top }A^{\top }=BA,\quad {\text{следовательно}}\quad (AB)^{\top }=AB\Leftrightarrow BA=AB.}$

Понятие коммутирования (перестановки) матриц ввёл Кэли в своих мемуарах по теории матриц, в которых была приведена также аксиоматизация матриц. Первым существенным доказанным результатом по коммутированию был представленный выше результат Фробениуса (1878)^[4].

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 2012. — ISBN 9780521839402.
  • Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: «Мир», 1989.
• Frobenius G. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1877. — Т. 84.
• Drazin M. Some Generalizations of Matrix Commutativity // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1951. — Т. 1, вып. 1. — doi:10.1112/plms/s3-1.1.222.