Конические координаты

Конические координаты — трёхмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер (радиус r) и двумя семействами перпендикулярных конусов, направленных вдоль осей z и x.

Конические координаты ${\displaystyle (r,\mu ,\nu )}$ определяются выражениями

${\displaystyle x={\frac {r\mu \nu }{bc}},}$

${\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}},}$

${\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}},}$

при этом на координаты накладываются ограничения

${\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}$

Поверхности постоянного r представляют собой сферы радиуса r с центром в начале координат:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

поверхности постоянных ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ являются взаимно перпендикулярными конусами:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}$

и

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}+c^{2}}}=0.}$

Масштабным множителем для радиуса r является единица (h_r = 1), как в сферических координатах. Для конических координат масштабные множители имеют вид

${\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}$

и

${\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.}$

Существует другой набор конических координат:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \}}$ — сферические полярные координаты. Обратное преобразование:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }}\operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }}),\\\theta &=\zeta .\end{aligned}}}$

Малое евклидово расстояние между двумя точками в данных координатах:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+\operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }})^{2}\operatorname {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }})\operatorname {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }})\operatorname {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{aligned}}}$

Если путь между двумя точками ограничен поверхностью конуса, задаваемого ${\displaystyle \zeta ={\frac {\pi }{4}}}$, то геодезическое расстояние между двумя точками ${\displaystyle \{\xi _{1},\psi _{1},\zeta _{1}={\frac {\pi }{4}}\}}$ и ${\displaystyle \{\xi _{2},\psi _{2},\zeta _{2}={\frac {\pi }{4}}\}}$ выражается как ${\displaystyle s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2}.}$

• Morse P.M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. — New York: McGraw-Hill Education, 1953. — С. 659. — ISBN 0-07-043316-X. — .
• Margenau H., Murphy G.M. The Mathematics of Physics and Chemistry. — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 183—184. — .
• Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.). — New York: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 179. — .
• Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. — New York: Springer Verlag, 1967. — С. 991—100. — .
• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists. — 2nd. — Orlando, FL: Academic Press, 1970. — С. 118—119.
• Moon P., Spencer D.E. Conical Coordinates (r, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.). — corrected 2nd ed., 3rd print. — New York: Springer-Verlag, 1988. — P. 37—40 (Table 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2.

• Описание конических координат в MathWorld