Лексикографический квадрат

Лексикографический квадрат — единичный квадрат с топологией определённой лексикографическим порядком.

Лексикографический порядок определяет полный упорядочение ${\displaystyle \prec }$ на точках единичного квадрата

${\displaystyle Q=\{\,(x,y)\mid 0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1\,\}}$:

если (x, y) и (u, v) — две точки в ${\displaystyle Q}$, то (x,y) ${\displaystyle \scriptstyle \prec }$ (u,v) тогда и только тогда, когда либо x < u либо же x = u и y < v.

Топология лексикографического порядка на единичном квадрате — это соответствующая топология порядка, то есть определяемая базой интервалов ${\displaystyle \{\,s\in Q\mid a\prec s\prec b\,\}}$, ${\displaystyle \{\,s\in Q\mid a\prec s\,\}}$ и ${\displaystyle \{\,s\in Q\mid s\prec b\,\}}$.

Топология порядка превращает ${\displaystyle Q}$ в совершенно нормальное хаусдорфово пространство . ^[1] Поскольку лексикографический порядок на S является полным, пространство ${\displaystyle Q}$ является компактным. В то же время, S содержит несчетное число попарно непересекающихся открытых интервалов, каждый из которых гомеоморфен вещественной прямой, например, интервалы ${\displaystyle U_{x}=\{(x,y):1/4<y<1/2\}}$ для ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ . В частности, ${\displaystyle Q}$ не является сепарабельным, и, значит, ${\displaystyle Q}$ не метризуемо (поскольку любое компактное метрическое пространство сепарабельно). Однако S удовлетворяет первой аксиоме счётности. Кроме того, ${\displaystyle Q}$ связно и локально связно, но не линейно связно и не локально линейно связно; связная компонента любой точки является вертикальным отразком^[2] Его фундаментальная группа тривиальна. ^[3]

• Прямая Александрова

• Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X