Лемма Веррьера

Ле́мма Веррье́ра — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами описанной и полувписанной окружностей треугольника.

Если окружность ${\displaystyle \omega }$ касается сторон ${\displaystyle AB,~BC}$ и дуги ${\displaystyle AC}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC,}$ соответственно в точках ${\displaystyle C_{1},~A_{1},~B_{1},}$ то точки ${\displaystyle C_{1},~I,~A_{1},~}$ где ${\displaystyle I}$ — инцентр треугольника ${\displaystyle ABC,}$ коллинеарны.

По лемме Архимеда прямая ${\displaystyle B_{1}A_{1}}$ проходит через середину дуги ${\displaystyle BC}$ описанной окружности, не содержащей точку${\displaystyle A.}$ Аналогично, прямая ${\displaystyle B_{1}C_{1}}$ проходит через середину дуги ${\displaystyle AB,}$ не содержащей вершину ${\displaystyle C.}$ Обозначим середины этих дуг через ${\displaystyle A_{0},~C_{0}}$ соответственно. Из той же леммы Архимеда следует, что ${\displaystyle A_{0}B^{2}=A_{0}A_{1}\cdot A_{0}B_{1}.}$ Следовательно, степень точки ${\displaystyle A_{0}}$ одинакова относительно окружности ${\displaystyle \omega }$ и точки ${\displaystyle B.}$ Аналогичное утверждение верно и для точки ${\displaystyle C_{0}.}$ Из этого следует, что прямая ${\displaystyle A_{0}C_{0}}$ — радикальная ось точки ${\displaystyle B}$ и окружности ${\displaystyle \omega .}$ Поэтому прямая ${\displaystyle A_{0}C_{0}}$ проходит через середины отрезков ${\displaystyle BA_{1},~BC_{1}.}$ Значит, прямая ${\displaystyle A_{0}C_{0}}$ содержит среднюю линию ${\displaystyle FE}$ треугольника ${\displaystyle C_{1}BA_{1}.}$ Следовательно, образ точки ${\displaystyle B,}$ при отражении точки ${\displaystyle B}$ относительно прямой ${\displaystyle A_{0}C_{0},}$ лежит на прямой ${\displaystyle A_{1}C_{1}.}$

С другой стороны, по лемме о трезубце ${\displaystyle IC_{0}=BC_{0}}$ и ${\displaystyle IA_{0}=BA_{0}.}$ Поэтому точка ${\displaystyle B}$ при отражении относительно прямой ${\displaystyle A_{0}C_{0}}$ переходит в точку ${\displaystyle I.}$ Откуда следует, что точка ${\displaystyle I}$ лежит на прямой ${\displaystyle A_{1}C_{1}.}$

Окружность ${\displaystyle \omega }$ называют полувписанной окружностью треугольника ${\displaystyle ABC.}$

1. Кожевников П. А. «Полувписанная» окружность https://geometry.ru/persons/kozhevnikov/poluvpis.pdf
2. Экзаменационная работа А. Гаркового по геометрии на тему «Полувписанная окружность» https://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/works/garkavyi.pdf