Лемма Маргулиса

Ле́мма Маргу́лиса — фундаментальное утверждение римановой геометрии, описывающее поведение изометрий римановых многообразий с ограниченной снизу кривизной и положительным радиусом инъективности. Установлена Г. А. Маргулисом. Является важным инструментом геометрической теории групп и теории дискретных групп преобразований, используется при исследовании структур однородных пространств и доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста.

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ — полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной снизу (${\displaystyle K\geq \kappa }$ для некоторого ${\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} }$), и с положительным радиусом инъективности ${\displaystyle \operatorname {inj} (M)}$. Тогда для любого ${\displaystyle R>0}$ существует константа ${\displaystyle C=C(\kappa ,R,\operatorname {inj} (M))>0}$ такая, что для любого открытого шара ${\displaystyle U\subset M}$ радиуса ${\displaystyle R}$ и любых двух изометрий ${\displaystyle f,g\colon M\to M}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle \|[f,g]\|_{U}\leq C\cdot \|f\|_{U}\cdot \|g\|_{U},}$

где ${\displaystyle \|h\|_{U}=\sup \limits _{x\in U}d_{M}(h(x),x)}$ — норма изометрии на шаре ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle d_{M}}$ — метрика, индуцированная метрическим тензором на ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle [f,g]=f\circ g\circ f^{-1}\circ g^{-1}}$ — коммутатор изометрий.

Основное следствие леммы Маргулиса — критерий почти нильпотентности групп изометрий:

Пусть ${\displaystyle \Gamma }$ — дискретная группа изометрий полного риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ с секционной кривизной ${\displaystyle K\geq \kappa }$ (${\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} }$) и положительным радиусом инъективности. Если существует точка ${\displaystyle x_{0}\in M}$ и конечная система образующих ${\displaystyle S\subset \Gamma }$ такие, что ${\displaystyle \max \limits _{s\in S}d_{M}(s(x_{0}),x_{0})<\varepsilon }$ для достаточно малого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ (зависящего от ${\displaystyle M}$), то ${\displaystyle \Gamma }$ почти нильпотентна, то есть содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса.

Этот результат играет ключевую роль в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста.