Машина Дубинса

Машина Дубинса — математическое описание движения машины на плоскости с ограничением на поворот руля. Траектории такой машины имеют ограниченную кривизну с обоих сторон.

Машина Дубинса описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=\cos \varphi \\{\dot {y}}&=\sin \varphi \\{\dot {\varphi }}&=u,\quad u\in [u_{1},u_{2}],\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — координаты положения машины на плоскости, а ${\displaystyle \varphi }$ — угол её направления.

Лестер Эли Дубинс (1920—2010)^[1] доказал, что кратчайший путь такого типа между точками плоскости с выбранными направлениями состоит из максимально изогнутых и/или прямых отрезков.^[2] Другими словами, кратчайший путь будет проложен путем соединения дуг окружностей максимальной кривизны и прямых линий.

Дубинс доказал свой результат в 1957 году. В 1974 году Гарольд Х. Джонсон передоказал результат Дубинса, применив принцип максимума Понтрягина.^[3] В частности, Гарольд Х. Джонсон представил необходимые и достаточные условия для того, чтобы плоская кривая, имеющая ограниченную кусочно-непрерывную кривизну и заданные начальные и конечные точки и направления, имела минимальную длину. В 1992 году тот же результат был передоказан с использованием принципа максимума Понтрягина.^[4] Совсем недавно Дж. Айала, Д. Кирзенблат и Дж. Хайам Рубинштейн представили доказательство на основе дифференциальной геометрии кривых.^[5] Доказательство, характеризующее пути машины Дубинса в гомотопических классах, было дано Дж. Айалой.^[6]

• Предпологается, что машина Дубинса, движется только вперед. Если она может двигаться и задним ходом, то её путь называется траекторией Ридса — Шеппа.^[7]

• А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков. Геометрическая теория управления. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 391 с. — ISBN 5-9221-0532-9.