Меандр (математика)

Меандр или замкнутый меандр — замкнутая кривая без самопересечений, которая несколько раз пересекает заданную прямую. Меандр можно рассматривать как абстрактное представление дороги, пересекающей реку мостами в нескольких местах.

Если на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ задана ориентированная прямая ${\displaystyle L}$, то меандром порядка ${\displaystyle n>0}$ называется замкнутая кривая без самопересечений на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, которая поперечно пересекает ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle 2n}$ точках. Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему. Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, который переводит ${\displaystyle L}$ в себя, а один меандр в другой.

Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:

Число различных меандров порядка ${\displaystyle n}$ называется меандровым числом и обозначается ${\displaystyle M_{n}}$. Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность A005315 в OEIS) равны

${\displaystyle M_{1}=1}$,

${\displaystyle M_{2}=2}$,

${\displaystyle M_{3}=8}$,

${\displaystyle M_{4}=42}$,

${\displaystyle M_{5}=262}$,

${\displaystyle M_{6}=1828}$,

${\displaystyle M_{7}=13820}$,

${\displaystyle M_{8}=110954}$,

${\displaystyle M_{9}=933458}$,

${\displaystyle M_{10}=8152860}$,

${\displaystyle M_{11}=73424650}$,

${\displaystyle M_{12}=678390116}$,

${\displaystyle M_{13}=6405031050}$,

${\displaystyle M_{14}=61606881612}$,

${\displaystyle M_{15}=602188541928}$.

Меандровая перестановка порядка ${\displaystyle n}$ задаётся на множестве ${\displaystyle \lbrace 1,2,\ldots ,2n\rbrace }$ и определяется меандровой системой следующим образом:

• Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечается целым числом, начиная с 1.
• Кривая ориентируется вверх в точке пересечения, помеченной 1.
• Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом по ориентированной кривой через помеченные точки.

На рисунке справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой ${\displaystyle (1\,8\,5\,4\,3\,6\,7\,2)}$. Это перестановка, записанная в циклической нотации, её не следует путать с линейной нотацией.

Если ${\displaystyle \pi }$ — меандровая перестановка, то ${\displaystyle \pi ^{2}}$ состоит из двух циклов, один из которых содержит все чётные элементы, другой — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называются чередующимися перестановками (не следует путать с чередующимися в смысле возрастания-убывания). Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка ${\displaystyle (1\,4\,3\,6\,5\,2)}$ порядка ${\displaystyle 3}$ меандровой не является.

Если на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ задана фиксированная ориентированная прямая ${\displaystyle L}$, то открытым меандром порядка ${\displaystyle n>0}$ называется ориентированная кривая без самопересечений на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, которая пересекает прямую в ${\displaystyle n}$ точках. Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:

Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:

Число различных открытых меандров порядка ${\displaystyle n}$ называется открытым меандровым числом и обозначается ${\displaystyle m_{n}}$. Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность A005316 в OEIS) равны

${\displaystyle m_{1}=1}$,

${\displaystyle m_{2}=1}$,

${\displaystyle m_{3}=2}$,

${\displaystyle m_{4}=3}$,

${\displaystyle m_{5}=8}$,

${\displaystyle m_{6}=14}$,

${\displaystyle m_{7}=42}$,

${\displaystyle m_{8}=81}$,

${\displaystyle m_{9}=262}$,

${\displaystyle m_{10}=538}$,

${\displaystyle m_{11}=1828}$,

${\displaystyle m_{12}=3926}$,

${\displaystyle m_{13}=13820}$,

${\displaystyle m_{14}=30694}$,

${\displaystyle m_{15}=110954}$.

Если на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ задан ориентированный луч ${\displaystyle R}$, то полумеандром порядка ${\displaystyle n>0}$ называется кривая без самопересечений в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, которая пересекает луч в ${\displaystyle n}$ точках. Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:

Количество различных полумеандровых чисел порядка ${\displaystyle n}$ называется полумеандровым числом и обозначается ${\displaystyle {\underline {M}}_{n}}$. Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность A000682 в OEIS) равны

${\displaystyle {\underline {M}}_{1}=1}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{2}=1}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{3}=2}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{4}=4}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{5}=10}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{6}=24}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{7}=66}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{8}=174}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{9}=504}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{1}0=1406}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{1}1=4210}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{1}2=12198}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{1}3=37378}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{1}4=111278}$,

${\displaystyle {\underline {M}}_{1}5=346846}$.

• Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:

${\displaystyle M_{n}=m_{2n-1}}$.

• Любое меандровое число ограничено сверху и снизу полумеандровыми числами:

${\displaystyle {\underline {M}}_{n}\leqslant M_{n}\leqslant {\underline {M}}_{2n}}$.

• Для ${\displaystyle n>1}$ меандрические числа чётны:

${\displaystyle M_{n}\equiv 0\mod 2}$.

• La Croix M.. Approaches to the Enumerative Theory of Meanders. — 2003.
• В. И. Арнольд. Меандры // Квант. — 1991. — № 3. — С. 11—12, 14.