Мера Хаусдорфа

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской ${\displaystyle \sigma }$-алгебре ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$. Построены Феликсом Хаусдорфом.^[1]

Рассмотрим некоторый класс ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ открытых подмножеств ${\displaystyle X}$, на котором определим неотрицательную функцию ${\displaystyle l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}}$ и

${\displaystyle \lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},}$

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества ${\displaystyle B\subset X}$ множествами из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ с диаметром, не превосходящим ${\displaystyle \varepsilon }$, то есть

${\displaystyle B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}}$

и

${\displaystyle \mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots }$

Мерой Хаусдорфа ${\displaystyle \lambda }$, определяемой классом ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и функцией ${\displaystyle l}$, называется предел

${\displaystyle \lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).}$

1. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — совокупность всех шаров в ${\displaystyle X}$, a ${\displaystyle l(A)=(\mathrm {diam} \,A)^{\alpha }}$, где ${\displaystyle \alpha >0}$. Тогда соответствующая мера ${\displaystyle \lambda }$ будет называться ${\displaystyle \alpha }$-мерой Хаусдорфа. При ${\displaystyle \alpha =1}$ такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при ${\displaystyle \alpha =2}$ — плоской мерой Хаусдорфа.
2. Если ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n+1}}$, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси ${\displaystyle x_{n+1}}$ и ${\displaystyle l(A)}$ равна ${\displaystyle n}$-мерному объёму осевого сечения цилиндра ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

• Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..