Метод Феррари

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Пусть уравнение ${\displaystyle 4}$-й степени имеет вид

${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$.

(1)

Если ${\displaystyle y_{1}}$ — произвольный корень кубического уравнения

${\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0}$

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

${\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}$

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

${\displaystyle \alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}$

${\displaystyle \beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}$

${\displaystyle \gamma =-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{B^{2}C \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},}$

если ${\displaystyle \beta =0}$, тогда, решив ${\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0}$ и, сделав подстановку ${\displaystyle x=u-{B \over 4A}}$, найдём корни:

${\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0}$.

${\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}$

${\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}$, (любой знак квадратного корня подойдёт)

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}}}$, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)

${\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}$

${\displaystyle W={\sqrt {\alpha +2y}}}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W}\right)}} \over 2}.}$

Здесь ${\displaystyle \pm _{s}}$ и ${\displaystyle \pm _{t}}$ — два независимых параметра, каждый из которых равен либо ${\displaystyle +}$, либо ${\displaystyle -}$. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений ${\displaystyle \pm _{s}}$ и ${\displaystyle \pm _{t}}$ равно степени его кратности. В зависимости от выбора ${\displaystyle U}$ (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.

Пусть имеется уравнение канонического вида:

${\displaystyle \ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}$

Обозначим корни уравнения как ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$. Для корней уравнения в канонической форме, по теореме Виета будет выполняться соотношение

${\displaystyle \ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:}$

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

${\displaystyle \ x_{3}=-W+iV}$

${\displaystyle \ x_{4}=-W-iV}$

Причём ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle V}$ — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

${\displaystyle \ x_{1}=W+iK}$

${\displaystyle \ x_{2}=W-iK}$

Здесь ${\displaystyle K}$ может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

${\displaystyle \ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=}$

${\displaystyle \ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}}$

Выразим К через остальные коэффициенты:

${\displaystyle \ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}}$

${\displaystyle \ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}}$

или

${\displaystyle \ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0}$

Итого

${\displaystyle \ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})}$

${\displaystyle \ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=}$

${\displaystyle \ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}}$

Или ${\displaystyle \ b^{2}=4W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})}$

Отсюда ${\displaystyle \ 64W^{6}+32aW^{4}+4(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0}$

Заменяя ${\displaystyle \ y=W^{2}}$, получаем резольвенту, решив которую, находим W

Имеем уравнение канонического вида:

${\displaystyle x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}$

Выделим полный квадрат

${\displaystyle (x^{2}+{\frac {a}{2}})^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-bx-c}$

Сделаем так, чтобы полный квадрат равнялся квадратному трехчлену. Прибавим к обеим частям ${\displaystyle 2yx^{2}+ay+y^{2}}$, тогда

${\displaystyle (x^{2}+{\frac {a}{2}}+y)^{2}=2yx^{2}-bx+{\frac {a^{2}}{4}}-c+ay+y^{2}}$

Полный квадрат равен квадратному трехчлену тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена равен 0, то есть:

${\displaystyle b^{2}-4\cdot (2y)\cdot ({\frac {a^{2}}{4}}-c+ay+y^{2})=0}$

Преобразуя получим:

${\displaystyle y^{3}+ay^{2}+({\frac {a^{2}-4c}{4}})y-{\frac {b^{2}}{8}}=0}$

Решая кубическое уравнение, получаем корень ${\displaystyle y_{1}}$ и подставляя получаем:

${\displaystyle (x^{2}+{\frac {a}{2}}+y_{1})^{2}=2y_{1}(x-y_{1})^{2}}$

Далее извлекаем корень и решаем квадратное уравнение относительно ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}+y_{1}=\pm {\sqrt {2y_{1}}}(x-y_{1})}$

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

• Теорема Абеля — Руффини
• Формула Кардано

• Метод Феррари и разбор на примере
• Поэтапный разбор решения Феррари на примере (англ.)