Метрика Хофера

Метрика Хофера — естественная биинвариантная метрика на группе гамильтоновых симплектоморфизмов. Введена Хельмутом Хофером в конце 1980-х годов.^[1]

Пусть ${\displaystyle (M,\omega )}$ — симплектическое многообразие. Для гладкой функции ${\displaystyle H\colon M\times [0,1]\to \mathbb {R} }$ (гамильтониана), будем обозначать через ${\displaystyle \varphi _{H}^{t}}$ соответствующий гамильтонов поток.

Норма Хофера гамильтониана ${\displaystyle H}$ определяется как: $${\displaystyle \|H\|=\int _{0}^{1}(\max _{M}H_{t}-\min _{M}H_{t})\,dt.}$$

Для гамильтонова диффеоморфизма ${\displaystyle \varphi =\varphi _{H}^{1}}$ норма Хофера определяется как:

${\displaystyle \|\varphi \|=\inf _{H}\|H\|,}$

где точная нижняя грань берётся по всем гамильтонианам ${\displaystyle H}$, порождающим ${\displaystyle \varphi }$.

Расстояние Хофера между ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ определяется как:

${\displaystyle d(\varphi ,\psi )=\|\varphi \circ \psi ^{-1}\|.}$

• Гамильтонов поток ${\displaystyle \varphi _{H}^{t}}$ определяет ${\displaystyle H}$ с точностью до добавления функции зависящей от ${\displaystyle t}$. Чтобы сделать выбор ${\displaystyle H}$ однозначным обычно предполагают что многообразие компактно и среднее значение ${\displaystyle H_{t}}$ равен нулю для всякого ${\displaystyle t}$.
  • В некомпактном случае обычно рассматривают гамильтоновы диффеоморфизмы с компактным носителем и предполагают, что ${\displaystyle H_{t}}$ равен нулю вне фиксированного компактного множества при любом ${\displaystyle t}$.

• Метрика Хофера является биинвариантной, то есть

  ${\displaystyle d(\phi \circ \varphi ,\phi \circ \psi )=d(\varphi ,\psi )=d(\varphi \circ \phi ,\psi \circ \phi )}$.

• Норма Хофера не вырождается. То есть, ${\displaystyle \|\varphi \|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi =\mathrm {id} }$.
  • В частности расстояние Хофера определяет метрику на гамильтоновых симплектоморфизмах.
• Пространство ${\displaystyle (\mathrm {Ham} (M,\omega ),d)}$ не является полным.

• Л. В. Полтерович. Геометрия группы симплектоморфизмов / перевод с английского Р. Г. Матвеева и А. М. Петрунина, под редакцией Л. В. Полтеровича и Я. М. Элиашберга. — 2025.