Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов ${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(x;\varphi ),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\}}$, которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

${\displaystyle P_{-1}^{\lambda }=0}$

${\displaystyle P_{0}^{\lambda }=1}$

${\displaystyle nP_{n}^{\lambda }-2\left((n-1+\lambda )\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda }+(n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0}$

• Симметричные многочлены Полачека ${\displaystyle \left(P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)\right)}$ ортогональны на всей вещественной оси с весом:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^{2}}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!}}\delta ^{n}G\left(\lambda +{\frac {n}{2}}\right)}$, где ${\displaystyle G(\lambda ,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)}}e^{\pi x}}$ — мероморфная функция, а ${\displaystyle \delta }$ — оператор конечной разности ${\displaystyle (\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)}$

• В. Н. Сорокин. Обобщенные многочлены Полачека (рус.) // Матем. сб.. — 2009. — Т. 200, № 4. — С. 113—130.