Модель SABR

Модель SABR (stochastic alpha-beta-rho) — в финансовой математике модель динамики цен активов или процентных ставок со стохастической волатильностью следующего вида:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}C(F_{t})dW_{t}^{F},\qquad d\sigma _{t}=\nu \sigma _{t}dW_{t}^{\sigma },\quad \sigma _{0}=\alpha ,\qquad dW_{t}^{F}dW_{t}^{\sigma }=\rho dt}$

где в классическом случае ${\displaystyle C(F)=F_{t}^{\beta }}$. Для учёта теоретической возможности отрицательных ставок/цен используют также модель со смещением (shifted SABR): ${\displaystyle C(F)=(F_{t}+s)^{\beta }}$. Применяется также модель с функцией ${\displaystyle C(F)=|F_{t}|^{\beta }}$.

Здесь "сигма" ${\displaystyle {\sigma }_{t}}$- это стохастический процесс волатильности (с начальным значением ${\displaystyle \alpha }$-"альфа"). Параметр ${\displaystyle \nu }$ ("ню")- это "волатильность волатильности". Параметр ${\displaystyle {\rho }}$ ("ро") - параметр локальной корреляции факторов, влияющих на цену и на волатильность. Параметр ${\displaystyle {\beta }}$ ("бета") - это параметр CEV-модели, возможные значения которой от 0 до 1. По существу такая модель является существенно обобщенной и включает в себя в качестве частных или предельных случаев некоторые другие базовые модели, например, если параметр "волатильность волатильности" равен нулю, то получим так называемую CEV-модель, которая свою очередь в качестве предельных частных случае содержит нормальную модель (нулевая "бета"), логнормальную модель ("бета" равно 1). Также возможно рассмотрение модели с нулевой корреляцией - в таком случае обобщение "классических" моделей заключается просто в наличии некоторого разброса "сигмы", например в рамках нормальной или логнормальной модели.

При моделировании процентных ставок обычно модель описывает форвардную ставку для конкретного будущего периода в соответствующей форвардной мере. Соответственно параметры аналогичных моделей для форвардных ставок разной срочности могут потенциально иметь разные значения параметров. Совместное моделирование одновременно всех форвардных ставок разных срочностей возможно, например, в рамках модели SABR-LMM.

Модель позволяет объяснить так называемую улыбку вменённой волатильности в рамках модели Блэка-Шоулза или Башелье. Несмотря на то, что существуют достаточно точные аналитические подходы к оценке опционов в рамках модели SABR (при нулевой корреляции эти формулы точные), тем не менее, соответствующие формулы достаточно сложны и предполагают в том числе неоднократное численное интегрирование сложных функций. Поэтому на практике часто применяют иной подход - используют аппроксимации нормальной или логнормальной волатильности для оценки опционов стандартными формулами Блэка или Башелье.

Модель была предложена в статье ^[1] 2002 года четырьмя авторами - Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski, and Diana Woodward, где они предложили приближенные формулы для аппроксимации нормальной и логнормальной волатильности (часто соответствующую формулу обозначают HKLW02). В дальнейшем многие авторы предложили различные улучшения и альтернативные подходы к оценке, в том числе и сами авторы первоначальных формул ^{[2] [3] [4]}, а также Berestickiy (2004), Henry-Labordere (2005)^[5], Obloj (2008) ^[6], Paulot (2009) ^[7], Le Floc'h & Kennedy (2014) ^[8] и др.

Чаще всего используется линейная аппроксимация нормальной (${\displaystyle \mathbf {1} _{N}=1}$) или логнормальной (${\displaystyle \mathbf {1} _{N}=0}$) волатильности по сроку экспирации ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {1} _{N}}(K,T)\approx a_{0}(1+aT)=a_{0}(1+[a_{1}+a_{2}+a_{3}]T)}$

Далее в формулах ${\displaystyle K}$-страйк опциона, ${\displaystyle F}$ - форвардная цена/ставка на момент оценки для соответствующего срока. В записи формул удобно оперировать следующими базовыми обозначениями:

${\displaystyle q=\int _{F}^{K}{\frac {dx}{C(x)}},\qquad q_{p}={\begin{cases}{K^{p}-F^{p} \over p},&p\neq 0\\\ln K/F,&p=0\end{cases}},\qquad {\overline {F_{s}^{p}}}={\begin{cases}{q_{p} \over q_{s}},&K\neq F\\K^{p-q},&K=F\end{cases}},\qquad {\overline {F_{1}^{p}}}={{\overline {F_{1}^{p}}} \over {\overline {F_{0}^{p}}}}}$

${\displaystyle \quad z={\nu \over \alpha }q,\qquad V={\sqrt {1+2\rho z+z^{2}}},\qquad d=\ln {V+z+\rho \over 1+\rho },\qquad H=H(z)={\begin{cases}z/d,&z\neq 0\\1,&z=0\end{cases}}}$

В случае классической модели ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$, поэтому ${\displaystyle q=q_{\beta _{1}}}$, где ${\displaystyle \beta _{1}=1-\beta }$ - также удобное сокращенное обозначение.

Отметим, что некоторые авторы используют формулы для z с противоположным знаком (то есть во всех формулах сначала F потом K), что приводит к изменениям некоторых знаков и в формулах для V и d. Приведенный здесь подход предпочтительнее с точки зрения простоты формул в части одинаковых знаков (+) в указанных формулах (этой системы придерживаются и другие авторы, включая исходных авторов в более поздних статьях).

Кроме этого, ниже в некоторых случаях используются следующие две вспомогательные функции:

${\displaystyle s_{1}(x/2)={\sinh(x/2) \over x/2}\approx 1+{x^{2} \over 24}+{x^{4} \over 1920},\qquad s_{24}(x)={x^{2} \over \ln {s_{1}(x/2)}}\approx 24(1+{x^{2} \over 120})}$

При x=0 первая функция равна 1, а вторая - 24 (с чем и связаны обозначения).

Формулу аппроксимации HKLW02 можно записать следующим образом:

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {1} _{N}}(K,T)={\frac {\nu q_{\mathbf {1} _{N}}}{d}}\left(1+\left[\alpha ^{2}{\gamma _{C}(F_{G})+(1-\mathbf {1} _{N}){C^{2}(F_{G}) \over F_{G}^{2}} \over 24}\;+{\frac {\alpha \rho \nu C'(F_{G})}{4}}\;+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\nu ^{2}\right]T\right)}$

где ${\displaystyle \gamma _{C}(F_{G})=2C(F_{G})C''(F_{G})-[C'(F_{G})]^{2},\qquad F_{G}={\sqrt {FK}}}$.

В такой записи имеется неопределенность при нулевой "ню", поэтому удобно записать коэффициент ${\displaystyle a_{0}}$ следующим образом:

${\displaystyle a_{0}=\alpha H{q_{\mathbf {1} _{N}} \over q}}$

Величина (функция) H равна 1 как в случае нулевой "ню", так и в случае АТМ (K=F).

Для классического случая ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$, поэтому ${\displaystyle C'(F_{G})=\beta F_{G}^{\beta -1},\;C''(F_{G})=\beta (\beta -1)F_{G}^{\beta -2}\;}$. Поэтому ${\displaystyle \gamma _{C}(F_{G})=\beta (\beta -2)F_{G}^{2(\beta -1)}}$. Тогда формулу HKLW02 можно записать в следующем виде:

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {1} _{N}}(K,T)={\alpha H \over {\overline {F_{\mathbf {1} _{N}}^{\beta _{1}}}}}\left(1+\left[{\frac {\alpha ^{2}(\beta _{1}^{2}-\mathbf {1} _{N})}{24F_{G}^{2\beta _{1}}}}+{\frac {\alpha \beta \rho \nu }{4F_{G}^{\beta _{1}}}}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}{\nu }^{2}\right]T\right)}$

Для случая ATM имеем ${\displaystyle a_{0}=\alpha /K^{\beta _{1}}}$ для волатильности Блэка, и ${\displaystyle a_{0}=\alpha K^{\beta }}$ - для волатильности Башелье.

Авторы в первоначальной статье 2002 года знаменатель в этой формуле (${\displaystyle {\overline {F_{0}^{\beta _{1}}}}}$) для случая сигмы Блэка записали несколько иначе, а именно как ${\displaystyle F_{G}^{\beta _{1}}\left(1+{\beta _{1}^{2}q_{0}^{2} \over 24}+{\beta _{1}^{4}q_{0}^{4} \over 1920}\right)}$. Однако, можно показать, что это является приблизительным значением вышеуказанной величины:

${\displaystyle {\overline {F_{0}^{\beta _{1}}}}={K^{\beta _{1}}-F^{\beta _{1}} \over \beta _{1}q_{0}}=F_{G}^{\beta _{1}}{e^{\beta _{1}q_{0} \over 2}-e^{-{\beta _{1}q_{0} \over 2}} \over \beta _{1}q_{0}}=F_{G}^{\beta _{1}}{\sinh({\beta _{1}q_{0} \over 2}) \over {\beta _{1}q_{0} \over 2}}=F_{G}^{\beta _{1}}s_{1}\left({\beta _{1}q_{0} \over 2}\right)}$

откуда, учитывая приблизительную (но достаточно точную) приведенную выше аппроксимацию функции ${\displaystyle s_{1}(x/2)}$ и получается выражение, использованное авторами.

Кроме этого, в окончательной формуле авторов вместо z была использована по существу (с точностью до знака) величина ${\displaystyle \zeta ={\nu \over \alpha }F_{G}^{\beta _{1}}q_{0}}$. В дальнейшем другие авторы (Berestickiy (2004), Henry-Labordere (2005), Obloj (2008)) показали, что более точно в общем случае использовать вышеприведенную величину ${\displaystyle z={\nu \over \alpha }q_{\beta _{1}}}$ . С учетом приведенной выше формулы, эти величины связаны между собой следующим образом ${\displaystyle z=\zeta s_{1}({\beta _{1}q_{0} \over 2})}$, поэтому в случае АТМ или в случае, когда бета равна 1, эти величины совпадают, в остальных случаях они немного отличаются.

В статье 2014 года авторы предложили несколько отличающуюся формулу, причем только для нормальной сигмы (сигму Блэка при необходимости можно вычислить по общей приблизительной формуле из нормальной сигмы), которую в приведенных выше обозначениях можно записать следующим образом:

${\displaystyle \sigma _{1}(K,T)={\alpha q_{1} \over q}H\left(1+\left[{\alpha ^{2} \over q^{2}}\ln \left({q \over q_{1}}{\sqrt {C(F)C(K)}}\right)+{\alpha \rho \nu \over 4}{C(K)-C(F) \over K-F}+{2-3\rho ^{2} \over 24}\nu ^{2}\right]T\right)}$

Таким образом, коэффициенты ${\displaystyle a_{0},a_{3}}$ остаются прежними. Коэффициент ${\displaystyle a_{2}}$ меняется незначительно, так как вместо производной от среднего геометрического применяется непосредственно средняя величина производной по существу. Наиболее значимое изменение имеет место для коэффициента ${\displaystyle a_{1}}$. Однако, можно показать, что для классической модели SABR эту формулу можно представить в виде, аналогичном HKLW02:

${\displaystyle \sigma _{1}(K,T)={\alpha H \over {\overline {F_{1}^{\beta _{1}}}}}\left(1+\left[{\alpha ^{2}\left({\beta _{1}^{2} \over s_{24}(\beta _{1}q_{0})}-{1 \over s_{24}(q_{0})}\right) \over \left({\overline {F_{0}^{\beta _{1}}}}\right)^{2}}+{\alpha \beta \rho \nu \over 4}{\overline {F_{1}^{\beta }}}+{2-3\rho ^{2} \over 24}\nu ^{2}\right]T\right)}$

Функция ${\displaystyle s_{24}(x)}$ в достаточно широком диапазоне отклонений от АТМ примерно равна 24 (значению на АТМ). Например, при трехкратном отклонении страйка от АТМ эта величина может составить максимум 24.24 вместо 24 , то есть увеличение составит примерно на 1%, то есть обычно это несущественная поправка (а если учесть бету 0.5, то всего 24.06, то есть порядка четверти процента). Поэтому основное отличие в формуле первого коэффициента заключается в том, что вместо среднего геометрического используется среднее ${\displaystyle {\overline {F_{0}^{\beta _{1}}}}}$, соответственно, новый коэффициент будет меньше классического в ${\displaystyle s_{1}^{2}(\beta _{1}q_{0}/2)}$ раз. В аналогичном примере с трехкратным отклонением страйка от форварда это дает изменение коэффициента уже на 8% (но при бета, равном 0.5 это всего 2% уже).

Несложно показать, что уточненный второй коэффициент незначительно отличается от первоначального варианта:

${\displaystyle a_{2}={\alpha \beta \rho \nu \over 4}{\overline {F_{1}^{\beta }}}={\alpha \beta \rho \nu \over 4}{{\overline {F_{0}^{\beta }}} \over {\overline {F_{0}^{1}}}}={\alpha \beta \rho \nu \over 4F_{G}^{\beta _{1}}}{s_{1}(\beta q_{0}/2) \over s_{1}(q_{0}/2)}\approx {\alpha \beta \rho \nu \over 4F_{G}^{\beta _{1}}}e^{-{q_{0}^{2}(1-\beta ^{2}) \over 24}}}$

В аналогичном примере с трехкратным отклонением от ATM новый коэффициент будет меньше классического максимум на 1%. Подчеркнем, что в случае АТМ новые коэффициенты в точности совпадают с классическими. Все различия становятся значимыми лишь при значительных отклонениях от АТМ и на достаточно длинных сроках.

Le Floc'h F. и Kennedy G. на основе аппроксимации Anderson&Brotherton-Ratcliffe в 2014 году представили формулу в следующем виде (с учетом обозначений, принятых выше):

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {1} _{N}}(K,T)={\nu q_{\mathbf {1} _{N}} \over d}\left(1+\left[{\alpha \beta \rho \nu \over 4}{\overline {F_{1}^{\beta }}}+{\nu ^{2} \over d^{2}}\ln \left({{\sqrt {D(K)D(F)}} \over {\nu q_{\mathbf {1} _{N}} \over d}F_{G}^{1-\mathbf {1} _{N}}}\right)\right]T\right)}$

где ${\displaystyle D(x)=\alpha V(z(x))x^{\beta }}$, где ${\displaystyle z(x)}$ - аналогично стандартной величине z, где вместо страйка участвует переменная x. Величина d выражается через данную функцию как ${\displaystyle d=\nu \int _{F}^{K}D^{-1}(x)dx}$. Путем алгебраических преобразований можно показать, что такое представление эквивалентно следующему:

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {1} _{N}}(K,T)={\alpha H \over {\overline {F_{\mathbf {1} _{N}}^{\beta _{1}}}}}\left(1+\left[H^{2}{\alpha ^{2}\left({\beta _{1}^{2} \over s_{24}(\beta _{1}q_{0})}-{\mathbf {1} _{N} \over s_{24}(q_{0})}\right) \over \left({\overline {F_{0}^{\beta _{1}}}}\right)^{2}}+{\alpha \beta \rho \nu \over 4}{\overline {F_{1}^{\beta }}}+\nu ^{2}{\ln {{\sqrt {V}} \over H} \over d^{2}}\right]T\right)}$

Таким образом, коэффициент ${\displaystyle a_{0}}$ имеет стандартный вид, коэффициент ${\displaystyle a_{1}}$ в этой формуле отличается от формулы HKLW14 наличием множителя ${\displaystyle H^{2}}$. Коэффициент ${\displaystyle a_{3}}$ отличается более общей формулой (примерно в таком виде она встречается внутри статьи HKLW02 до упрощения и в таком же виде эти коэффициенты соответствуют более ранней статье Paulot - см.ниже) и можно показать, что на ATM она полностью совпадает с HKLW02 и HKLW14.

Вывод формулы ${\displaystyle a_{3}}$ на АТМ

Можно показать, что:

${\displaystyle {\ln {{\sqrt {V}} \over H} \over d^{2}}={\ln {\sqrt {1+y^{2}d^{2}}} \over d^{2}}-{1 \over s_{24}(d)},\qquad \qquad y^{2}={(1-\rho ^{2})H^{2} \over (V+\rho z+1)^{2}}}$

Используя приближение для логарифмической функции получим следующее приблизительное, но достаточно точное значение искомой величины:

${\displaystyle {\ln {{\sqrt {V}} \over H} \over d^{2}}\approx {2y^{2} \over (1+{\sqrt {1+y^{2}d^{2}}})^{2}}-{1 \over s_{24}(d)}}$

В случае АТМ ${\displaystyle (d=0,z=0,V=1)}$ знаменатель равен 4, а ${\displaystyle y^{2}={1-\rho ^{2} \over 4}}$ , поэтому в итоге на АТМ формула имеет вид:

${\displaystyle {1-\rho ^{2} \over 8}-{1 \over 24}={2-3\rho ^{2} \over 24}}$

что полностью совпадает с формулой HKLW02 и HKLW14. Тем не менее, при отклонениях от АТМ значение этого коэффициента отличается от классического значения.

Коэффициент ${\displaystyle a_{2}}$ совпадает с формулой HKLW14. Формула этого коэффициента связана с тем, что авторы использовали первоначально аппроксимацию Anderson&Brothertone-Ratcliffe следующего вида:

${\displaystyle \sigma (K,T)={\Omega _{0}u^{1/2}(T)+\Omega _{1}u^{3/2}(T) \over {\sqrt {T}}}=\Omega _{0}w(T)\left(1+{\Omega _{1} \over \Omega _{0}}w^{2}(T)T\right)}$

где ${\displaystyle w(T)={\sqrt {u(T)/T}}={\sqrt {e^{x}-1 \over x}}={\sqrt {e^{x/2}s_{1}(x/2)}}=e^{{x \over 4}+{x^{2} \over 2s_{24}(x)}},\qquad x=\alpha \beta \rho \nu {\overline {F_{1}^{\beta }}}T}$

Однако, непосредственное применение такой аппроксимации может привести к значительным ошибкам на больших сроках, так как в аппроксимации в конечном итоге участвуют не только линейные по сроку члены разложения. Поэтому авторы используют примерное значение ${\displaystyle w(T)\approx 1+1/4\alpha \beta \rho \nu {\overline {F_{1}^{\beta }}}T}$, и не учитывают возникающие члены разложения по сроку выше первого порядка. Отсюда и появляется такое значение "второго" коэффициента.

Принципиально другой подход реализован Louis Paulot(многие ссылки на 2015 год, однако, это работа 2009 года, на которую имеются ссылки уже в 2012 году), который аппроксимирует сигму Блэка и, кроме того, это аппроксимация второго порядка по сроку. Но члены разложения второго порядка имеют достаточно сложный вид и включают численное дифференцирование и интегрирование.

Если рассмотреть только аппроксимацию первого порядка, то можно показать, что коэффициенты ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{3}}$ идентичны подходу ABR14. Точнее можно сказать что формулы ABR14 для этих коэффициентах сходятся с формулами Paulot с учетом более ранней даты публикации последним. Однако, выражение коэффициента ${\displaystyle a_{2}}$ существенно сложнее и отличается от всех других формул ^[9]:

${\displaystyle a_{2}={\alpha \beta \rho \nu \over 4K^{\beta _{1}}}{\begin{cases}{2H^{2} \over V+\rho z+1},&\beta _{1}z=0\\{4\eta V\left[G\left({1+\rho \over \rho _{1}}\right)-G\left({V+z+\rho \over \rho _{1}}\right)\right] \over \rho _{1}^{2}d^{2}},&\beta _{1}z\neq 0\end{cases}},\qquad G(t)=atan(t)+{\begin{cases}-{\eta \over \eta _{1}}atan{g(t) \over \eta _{1}},&\eta >1\\{1 \over g(t)},&\eta =1\\{\eta \over 2\eta _{1}}\ln |{\eta _{1}+g(t) \over \eta _{1}-g(t)}|,&\eta <1\end{cases}},}$

${\displaystyle \eta ={\nu \over \alpha }{K^{\beta _{1}} \over \beta _{1}}{\rho _{1} \over V},\quad \eta _{1}={\sqrt {|1-\eta ^{2}|}},\quad \rho _{1}={\sqrt {1-\rho ^{2}}},\quad g(t)=\rho +(\eta -\rho _{1})t}$

В случае АТМ добавленный множитель равен 1 и формула совпадает с классической. В данном подходе, в случае единичной беты формула достаточно простая и отличается от классической формулы на множитель, который, как можно показать, равен также ${\displaystyle s_{1}^{2}(d/2)}$.

В данном подходе используется пересчитанная величина "альфы" путем умножения на множитель ${\displaystyle w(T)}$ из ABR14 :

${\displaystyle \alpha _{new}=\alpha w(T)\approx \alpha e^{{1 \over 4}\alpha \beta \rho \nu {\overline {F_{1}^{\beta }}}T}\approx \alpha (1+{1 \over 4}\alpha \beta \rho \nu {\overline {F_{1}^{\beta }}}T)}$

Корректировка альфы приводит к изменению величины коэффициента ${\displaystyle a_{0}}$ несмотря на неизменность формулы, а также приводит к нулевому коэффициенту ${\displaystyle a_{2}}$ (он "зашит" в пересчитанной величине альфы).

Далее общая аппроксимация становится не совсем линейной, а именно имеет вид:

${\displaystyle \sigma =a_{0}(1+|a|T)^{sign(a)}}$

В первом порядке приближения этот подход сходится с ранее рассмотренными, но тем не менее, косвенно здесь учитываются эффекты большего порядка.

Наконец, авторы предложили несколько отличные от ранее рассмотренных формулы расчета коэффициентов ${\displaystyle a_{1},a_{3}}$. Их можно представить следующим образом:

${\displaystyle a=a_{1}+a_{3}={\alpha ^{2}\gamma _{C}(F) \over 24}\left[{\rho _{1}^{2}+H(V+\rho R) \over 2}\right]+{\nu ^{2} \over 24}\left[{3H(1-\rho R) \over V}-1\right],}$

где использовано дополнительное обозначение ${\displaystyle R=R(z)={z+2\rho \over V+1}}$, что удобно в том числе с учетом того, что для АТМ ${\displaystyle R=R(0)=\rho }$. Приведенная форма записи формул не содержит явной неопределенности в АТМ (она скрыта в H) - у самих авторов немного другая, но эквивалентная запись этих формул с неопределенностью на АТМ. Можно также показать, что ${\displaystyle H(1-\rho R)=\rho _{1}^{2}s_{1}(d).}$

Функция ${\displaystyle \gamma _{C}(F)}$ - функция, определенная в формуле HKLW02, но в данной формуле она берется не в точке среднего геометрического, а просто на данном значении форвардной ставки. Для классической SABR-модели она равна ${\displaystyle \gamma _{C}(F)=(\beta _{1}^{2}-1)/F^{2\beta _{1}}}$

Формулы аппроксимации модели SABR можно использовать также для вывода приблизительных формул взаимосвязи между волатильностями Блэка (логнормальной) и Башелье (нормальной), которые можно использовать для быстрого получения одной волатильности из другой. Эти базовые модели являются моделями нестохастической волатильности и формально частными случаями модели SABR с нулевой ${\displaystyle \nu =0}$. В этом случае в том числе ${\displaystyle z=0,H=1}$ и формулы упрощаются до

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {1} _{N}}(K,T)={\alpha \over {\overline {F_{\mathbf {1} _{N}}^{\beta _{1}}}}}\left(1+{\alpha ^{2}(\beta _{1}^{2}-\mathbf {1} _{N}) \over 24F_{G}^{2\beta _{1}}}T\right)}$

Соответственно, если исходная сигма нормальная ,то есть ${\displaystyle \alpha =\sigma _{N},\beta =0,\beta _{1}=1}$, а нужно получить логнормальную сигму, сигму Блэка ${\displaystyle \sigma _{B},1_{N}=0}$, то ${\displaystyle {\overline {F_{\mathbf {1} _{N}}^{\beta _{1}}}}={\overline {F_{0}^{1}}}=F_{mid}}$ и имеем

${\displaystyle \sigma _{B}(K,T)={\sigma _{N} \over F_{mid}}\left(1+{\sigma _{N}^{2} \over 24FK}T\right),\qquad F_{mid}={\begin{cases}{K-F \over \ln {K \over F}},&K\neq F\\K,&K=F\end{cases}},}$

В обратном случае ${\displaystyle \alpha =\sigma _{B},\beta =1,\beta _{1}=0,1_{N}=1,{\overline {F_{\mathbf {1} _{N}}^{\beta _{1}}}}={\overline {F_{1}^{0}}}=1/F_{mid}}$ получаем

${\displaystyle \sigma _{N}(K,T)=\sigma _{B}F_{mid}\left(1-{\sigma _{B}^{2} \over 24}T\right)}$