Модулярность (алгебра)

Модулярность (англ. modularity^[1]) — свойство согласованности двух бинарных операций для любых трёх элементов решётки, два из которых сравнимы^[2][3].

Синоним: модулярный закон (англ. modular law^[4])^[2][3].

Формальное определение следующее^[3].

Модулярность на решётке ${\displaystyle L}$ — выполнение для трёх произвольных элементов решётки ${\displaystyle x,\,y,\,z\in L}$ следующей самодвойственной импликации^[2][3][5]:

${\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow x+(y\cdot z)=y\cdot (x+z)=(x+z)\cdot y}$.

На рисунке справа представлен модулярный закон для решёток в виде схемы, подобной диаграмме Эйлера. Эта схема показывает, что элементы из ${\displaystyle z}$, не входящие в ${\displaystyle y}$, никак не влияют на значение операции ${\displaystyle x+(y\cdot z)}$^[3].

Модулярность есть ослабленная дистрибутивность^[6][7] и представляет собой наиболее плодотворное понятие после дистрибутивности^[8].

Смысл модулярного закона для решёток состоит в истинности противоположного неравенства, поскольку в произвольной решётке всегда выполняется следующая импликация^[3]:

${\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow x+(y\cdot z)\leqslant y\cdot (x+z)}$.

Модулярный закон равносилен следующим двум тождествам:

${\displaystyle x+(y\cdot z)=x+((y+(x\cdot z))\cdot z)}$^[8];

${\displaystyle x+((x+y)\cdot z)=(x+y)\cdot (x+z)}$^[2][9][10].

Эти тождества применяются без каких-либо предположений, в этом их смысл и удобство. Следует иметь в виду двойственные выражения^[8]:

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot ((y\cdot (x+z))+z)}$;

${\displaystyle x\cdot ((x\cdot y)+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)}$.

1. ↑ George Grätzer. General Lattice Theory, 1978, Introduction, p. xi.
2. ↑ ^{1 2 3 4} Скорняков Л. А. Дедекиндова решётка, 1979, стб. 63.
3. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями, 1984, Глава первая. § 3. Модулярные решётки. 1, с. 29.
4. ↑ Garrett Birkhoff. Lattice theory, 1948, Chapter II. Lattices. 4. Sublattices and polynomials, p. 19.
5. ↑ Биркгоф Г. Теория решёток, 1984, Глава I. Типы решёток. 7. Модулярность, с. 26.
6. ↑ Гретцер Г. Общая теория решёток, 1982, Введение, с. 11.
7. ↑ Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями, 1984, Глава первая. § 4. Дистрибутивные решетки. 2, с. 31.
8. ↑ ^{1 2 3} Гретцер Г. Общая теория решёток, 1982, Глава IV. Модулярные и полумодулярные решётки. § 1. Модулярные решётки, с. 212.
9. ↑ Гретцер Г. Общая теория решёток, 1982, Глава I. Начальные понятия. § 4. Термы, тождества и неравенства, с. 51.
10. ↑ Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями, 1984, Глава первая. § 3. Модулярные решётки. 5, с. 31.

• Биркгоф Г. Теория решёток = Garrett Birkhoff, Lattice theory (1967) (рус.) / Перевёл с англ. В. Н. Салий под ред. Л. А. Скорнякова. — М.: «Наука», 1984. — 566 с.: ил. — 9400 экз.
• Гретцер Г.. Общая теория решёток = George Grätzer. General Lattice Theory (1978) (рус.) / Пер. с англ. А. Д. Больбота, В. А. Горбунова и В. И. Туманова под ред. Д. М. Смирнова. — М.: «Мир», 1982. — 452 с.: ил. — 6000 экз.
• Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями (рус.). — М.: «Наука», 1984. — 128 с., ил. — 4400 экз.
• Скорняков Л. А. Дедекиндова решётка // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — Стб. 63—64. — 1104 стб. : ил. — 148 800 экз.
• Garrett Birkhoff. Lattice theory (англ.). — Revised Edition. — New York: American Mathematical Society, 1948. — xiii+283 p.
• George Grätzer. General Lattice Theory (англ.). — New York · San Francisco: Academic Press, 1978. — xiii+381 p. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 0-12-295750-4.