Измерительный мост

Измери́тельный мост (мост Уи́тстона, мо́стик Ви́тстона^[1], англ. Wheatstone bridge) — электрическая схема или устройство для измерения электрического сопротивления. Предложен в 1833 году Самуэлем Хантером Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) и в 1843 году усовершенствован Чарльзом Уитстоном^[2]. Мост Уитстона относится к одинарным мостам в отличие от двойных мостов Томсона. Мост Уитстона — электрическое устройство, механическим аналогом которого являются аптекарские рычажные весы.

Принцип измерения сопротивления основан на уравнивании потенциала средних выводов двух ветвей (см. рисунок).

1. В одну из ветвей включён двухполюсник (резистор), сопротивление которого требуется измерить (${\displaystyle R_{x}}$).

Другая ветвь содержит элемент, сопротивление которого может регулироваться (${\displaystyle R_{2}}$; например, реостат).

Между ветвями (точками B и D; см. рисунок) находится индикатор. В качестве индикатора могут применяться:

• гальванометр;
• нуль-индикатор — прибор, отклонение стрелки которого показывает наличие тока в цепи и его направление, но не величину. На шкале такого прибора отмечено только одно число — ноль;
• вольтметр (${\displaystyle R_{G}}$ принимают равным бесконечности: ${\displaystyle R_{G}=\infty }$);
• амперметр (${\displaystyle R_{G}}$ принимают равным нулю: ${\displaystyle R_{G}=0}$).

Обычно в качестве индикатора используется гальванометр.

2. Сопротивление ${\displaystyle R_{2}}$ второй ветви изменяют до тех пор, пока показания гальванометра не станут равны нулю, то есть потенциалы точек узлов D и B не станут равны. По отклонению стрелки гальванометра в ту или иную сторону можно судить о направлении протекания тока на диагонали моста BD (см. рисунок) и указывают в какую сторону изменять регулируемое сопротивление ${\displaystyle R_{2}}$ для достижения «баланса моста».

Когда гальванометр показывает ноль, говорят, что наступило «равновесие моста» или «мост сбалансирован». При этом:

• отношение ${\displaystyle R_{2}/R_{1}}$ равно отношению ${\displaystyle R_{x}/R_{3}}$:

${\displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}}}={\frac {R_{x}}{R_{3}}},}$

откуда

${\displaystyle R_{x}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}};}$

• разность потенциалов между точками B и D (см. рисунок) равна нулю;
• ток по участку BD (через гальванометр) (см. рисунок) не протекает (равен нулю).

Сопротивления ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{3}}$ должны быть известны заранее.

3. Изменяют сопротивление ${\displaystyle R_{2}}$ до баланса моста.

4. Вычисляют искомое сопротивление ${\displaystyle R_{x}}$:

${\displaystyle R_{x}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}}.}$

Вывод формулы см. ниже.

При плавном изменении сопротивления ${\displaystyle R_{2}}$ гальванометр способен зафиксировать момент наступления равновесия с большой точностью. Если величины ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$ и ${\displaystyle R_{3}}$ были измерены с малой погрешностью, величина ${\displaystyle R_{x}}$ будет вычислена с большой точностью.

В процессе измерения сопротивление ${\displaystyle R_{x}}$ не должно изменяться, так как даже небольшие его изменения приведут к нарушению баланса моста.

К недостаткам предложенного способа можно отнести:

• необходимость регулирования сопротивления ${\displaystyle R_{2}}$. На поиски «равновесия» тратится время. Гораздо быстрее измерить несколько параметров цепи и вычислить ${\displaystyle R_{x}}$ по другой формуле.

Выведем формулу для расчёта сопротивления ${\displaystyle R_{x}}$.

Первый способ

Считается, что сопротивление гальванометра ${\displaystyle R_{G}}$ мало настолько, что им можно пренебречь (${\displaystyle R_{G}=0}$). То есть, можно вообразить, что точки B и D соединены (см. рисунок).

Воспользуемся правилами (законами) Кирхгофа. Выберем:

• направления токов — см. рисунок;
• направления обхода замкнутых контуров — по часовой стрелке.

По первому правилу Кирхгофа сумма токов, входящих в точку (узел) равна нулю:

• для точки (узла) B:

${\displaystyle I_{3}\ +I_{G}\ -I_{x}\ =\ 0;}$

• для точки (узла) D:

${\displaystyle I_{1}\ -I_{2}\ -I_{G}\ =\ 0.}$

По второму правилу Кирхгофа сумма напряжений в ветвях замкнутого контура равна сумме ЭДС в ветвях этого контура:

• для контура ABD:

${\displaystyle (R_{3}\cdot I_{3})\ -(R_{G}\cdot I_{G})\ -(R_{1}\cdot I_{1})=0;}$

• для контура BCD:

${\displaystyle (R_{x}\cdot I_{x})\ -(R_{2}\cdot I_{2})\ +(R_{G}\cdot I_{G})=0.}$

Запишем 4‑е последних уравнения для «сбалансированного моста» (то есть учтём, что ${\displaystyle I_{G}=0}$):

${\displaystyle {\begin{cases}I_{3}=I_{x}\\I_{1}=I_{2}\\R_{3}\cdot I_{3}=R_{1}\cdot I_{1}\\R_{x}\cdot I_{x}=R_{2}\cdot I_{2}\end{cases}}}$

Поделив 4‑е уравнение на 3‑е, получим:

${\displaystyle {\frac {R_{x}\cdot I_{x}}{R_{3}\cdot I_{3}}}={\frac {R_{2}\cdot I_{2}}{R_{1}\cdot I_{1}}}.}$

Выразив ${\displaystyle R_{x}}$, получим:

${\displaystyle R_{x}={\frac {R_{2}\cdot I_{2}\cdot R_{3}\cdot I_{3}}{I_{1}\cdot R_{1}\cdot I_{x}}}.}$

С учётом того, что

${\displaystyle {\begin{cases}I_{3}=I_{x}\\I_{1}=I_{2}\end{cases}}}$

получим

${\displaystyle R_{x}={\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}.}$

Второй способ

Считается, что сопротивление гальванометра ${\displaystyle R_{G}}$ велико настолько, что точки B и D можно считать не соединёнными (см. рисунок) (${\displaystyle R_{G}=\infty }$).

Введём обозначения:

• ${\displaystyle \varphi _{A}}$, ${\displaystyle \varphi _{B}}$, ${\displaystyle \varphi _{C}}$ и ${\displaystyle \varphi _{D}}$ — соответственно потенциалы точек A, B, C и D, В;
• ${\displaystyle U_{AC}}$ — напряжение между точками C и A, В:

${\displaystyle U_{AC}=\varphi _{A}-\varphi _{C};}$

• ${\displaystyle U_{DB}}$ — напряжение между точками D и B, В:

${\displaystyle U_{DB}=\varphi _{D}-\varphi _{B};}$

• ${\displaystyle R_{ADC}}$ — сопротивление участка ADC (последовательное соединение), Ом:

${\displaystyle R_{ADC}=R_{1}+R_{2};}$

• ${\displaystyle R_{ABC}}$ — сопротивление участка ABC (последовательное соединение), Ом:

${\displaystyle R_{ABC}=R_{3}+R_{x};}$

• ${\displaystyle I_{ADC}}$, ${\displaystyle I_{ABC}}$ — токи, протекающие на участках ADC и ABC соответственно, А.

По закону Ома токи ${\displaystyle I_{ADC}}$, ${\displaystyle I_{ABC}}$ равны:

${\displaystyle I_{ADC}={\frac {U_{AC}}{R_{ADC}}}={\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}};}$

${\displaystyle I_{ABC}={\frac {U_{AC}}{R_{ABC}}}={\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}.}$

По закону Ома падения напряжения на участках DC и BC равны:

${\displaystyle U_{DC}=I_{ADC}\cdot R_{2};}$

${\displaystyle U_{BC}=I_{ABC}\cdot R_{x}.}$

Потенциалы в точках D и B равны:

${\displaystyle \varphi _{D}=\varphi _{C}+U_{DC}=\varphi _{C}+I_{ADC}\cdot R_{2};}$

${\displaystyle \varphi _{B}=\varphi _{C}+U_{BC}=\varphi _{C}+I_{ABC}\cdot R_{x}.}$

Напряжение между точками D и B равно:

${\displaystyle U_{DB}=\varphi _{D}-\varphi _{B}=\left(\varphi _{C}+I_{ADC}\cdot R_{2}\right)\ -\left(\varphi _{C}+I_{ABC}\cdot R_{x}\right)\ =I_{ADC}\cdot R_{2}-I_{ABC}\cdot R_{x}.}$

Подставив выражения для токов ${\displaystyle I_{ADC}}$ и ${\displaystyle I_{ABC}}$, получим:

${\displaystyle U_{DB}={\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot R_{2}-{\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}\cdot R_{x}.}$

Учитывая, что для «сбалансированного моста» ${\displaystyle U_{DB}=0}$, получим:

${\displaystyle 0={\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot R_{2}-{\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}\cdot R_{x}.}$

Поместив слагаемые по разные стороны от знака равенства, получим:

${\displaystyle {\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot R_{2}={\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}\cdot R_{x}.}$

Сократив ${\displaystyle U_{AC}}$, получим:

${\displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {R_{x}}{R_{3}+R_{x}}}.}$

Умножив на произведение знаменателей, получим:

${\displaystyle R_{2}\cdot (R_{3}+R_{x})=R_{x}\cdot (R_{1}+R_{2}).}$

Раскрыв скобки, получим:

${\displaystyle R_{2}\cdot R_{3}+R_{2}\cdot R_{x}=R_{x}\cdot R_{1}+R_{x}\cdot R_{2}.}$

После вычитания ${\displaystyle R_{x}\cdot R_{2}}$ получим:

${\displaystyle R_{2}\cdot R_{3}=R_{1}\cdot R_{x}.}$

Выразив ${\displaystyle R_{x}}$, получим:

${\displaystyle R_{x}={\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}.}$

В данном случае мостовая схема рассматривалась, как комбинация двух делителей, а влияние гальванометра считалось пренебрежимо малым.

В случае, если условие баланса не выполнено, расчёт общего сопротивления довольно громоздкий.

Пользуясь правилами Кирхгофа, получаем систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}I_{\Sigma }=I_{1}+I_{4}=I_{2}+I_{3}\\I_{5}=I_{1}-I_{2}=I_{4}-I_{3}\\R_{\Sigma }\cdot I_{\Sigma }=R_{1}\cdot I_{1}+R_{2}\cdot I_{2}=R_{3}\cdot I_{3}+R_{4}\cdot I_{4}\\R_{5}\cdot I_{5}=R_{4}\cdot I_{4}-R_{1}\cdot I_{1}=R_{2}\cdot I_{2}-R_{3}\cdot I_{3}\end{cases}}}$

Тогда после исключения из системы всех токов получим окончательный результат, представленный в наиболее кратком виде:

${\displaystyle R_{\Sigma }={\frac {\sum _{1=i<j<k}^{5}R_{i}R_{j}R_{k}-R_{5}\left(R_{1}R_{4}+R_{2}R_{3}\right)}{\sum _{1=i<j}^{5}R_{i}R_{j}-\left(R_{1}R_{2}+R_{3}R_{4}\right)}},}$

где в суммах в числителе и в знаменателе суммируются все возможные комбинации из произведений сопротивлений без повторений сомножителей (всего таких комбинаций по десять).

На практике для измерения сопротивления с помощью мостовых схем применяют двухпроводное и четырёхпроводное подключение.

Двухпроводная схема подключения применяется при измерениях сопротивлений величиной выше 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по одному проводу.

Четырёхпроводная схема подключения применяется при измерении сопротивления величиной до 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по два провода. Это позволяет исключить влияние сопротивления проводов на величину измеренного сопротивления ${\displaystyle R_{x}}$.

В 1833 году Самуэль Хантер Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) предложил схему, позже получившую название «мост Уитстона».

В 1843 году схема была усовершенствована Чарльзом Уитстоном (англ. Charles Wheatstone)^[2] и стала называться «мостом Уитстона».

В 1861 году лорд Кельвин использовал мост Уитстона для измерения малых сопротивлений.

В 1865 году Максвелл с помощью изменённого моста Уитстона измерял силу переменного тока.

В 1926 году Алан Блюмлейн усовершенствовал мост Уитстона и запатентовал. Новое устройство стали называть в честь изобретателя.

В промышленности широко применяются уравновешенные и неуравновешенные измерительные мосты.

Работа уравновешенных мостов (наиболее точных) основана на «нулевом методе».

С помощью неуравновешенных мостов (менее точных) измеряемую величину определяют по показаниям измерительного прибора.

Измерительные мосты подразделяются на неавтоматические и автоматические.

В неавтоматических мостах балансирование производится вручную (оператором).

В автоматических балансировка моста происходит с помощью сервопривода по величине и знаку напряжения между точками D и B (см. рисунок).

Мост Уитстона часто используется для измерения самых разнообразных неэлектрических параметров, например:

• механических деформаций упругих элементов в тензометрии;
• температуры;
• освещённости;
• состава вещества, в том числе влажности и газовом анализе;
• теплопроводности и теплоёмкости и многого другого.

Принцип действия всех этих приборов основан на измерении сопротивления чувствительного резистивного элемента-датчика, сопротивление которого изменяется при изменении воздействующей на него неэлектрической величины. Резистивный датчик (датчики) включается электрически в одно или несколько плеч моста Уитстона и измерение неэлектрической величины сводится к измерению изменения сопротивления датчиков.

Применение моста Уитстона в этих приложениях обусловлено тем, что позволяет измерять относительно малое изменение сопротивления, то есть в случаях когда ${\displaystyle \Delta R_{x}/R_{x}\ll 1.}$

Обычно в современных измерительных приборах мост Уитстона подключается через аналого-цифровой преобразователь к цифровому вычислительному устройству, например, к микроконтроллеру, обрабатывающему сигнал моста. При обработке, как правило, производится линеаризация, масштабирование с преобразованием в численное значение неэлектрической величины в единицы её измерения, коррекция систематических погрешностей датчиков и измерительной схемы, индикация в удобном и наглядном для пользователя цифровом и/или машинно-графическом виде. Также может производиться статистическая обработка измерений, гармонический анализ и другие виды обработки.

Тензодатчики тензорезисторы применяются в:

• электронных весах;
• динамометрах
• измерителях давления (манометрах);
• измерителях крутящего момента на валах (торсиометрах);
• измерителях деформации деталей под воздействием механической нагрузки и др.

При этом тензорезисторы, наклеенные на упругие деформируемые детали включаются в плечи моста, а полезным сигналом является напряжение диагонали моста между точками D и B (см. рисунок).

Если выполняется соотношение:

${\displaystyle R_{1}/R_{2}=R_{3}/R_{x},}$

то независимо от напряжения на диагонали моста между точками A и C (напряжения) между точками D и B (${\displaystyle U_{DB}}$)) будет равно нулю:

${\displaystyle U_{DB}=0.}$

Но если ${\displaystyle R_{1}/R_{2}\neq R_{3}/R_{x},}$ то на диагонали появится ненулевое напряжение («разбаланс» моста), однозначно связанное с изменением сопротивления тензорезистора, и, соответственно, с величиной деформации упругого элемента, при измерении разбаланса моста измеряют деформацию, а так как деформация связана, например, в случае весов, с весом взвешиваемого тела, то и в результате измеряют его вес.

Для измерения знакопеременных деформаций помимо тензодатчиков часто используют пьезоэлектрические датчики. Последние в этих приложениях вытеснили тензодатчики благодаря лучшим техническим и эксплуатационным характеристикам. Недостатком пьезодатчиков является непригодность их для измерения медленных или статических деформаций.

Описанный принцип измерения деформации с помощью тензорезисторов в тензометрии сохраняется для измерения иных неэлектрических величин с применением других резистивных датчиков, сопротивление которых изменяется под воздействием неэлектрической величины.

Измерение температуры

В этих приложениях применяются резистивные датчики, находящиеся в тепловом равновесии с изучаемым телом, сопротивление датчиков изменяется при изменении их температуры. Также применяются датчики не контактирующие непосредственно с изучаемым телом, а измеряющие интенсивность теплового излучения от объекта, например, болометрические пирометры.

В качестве термочувствительных датчиков обычно используются резисторы, изготовленные из металлов — термометры сопротивления, имеющие положительный температурный коэффициент сопротивления, или полупроводниковые — терморезисторы с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления.

Косвенно через измерение температуры также производится измерение теплопроводности, теплоёмкости, скорости потоков газов и жидкостей в термоанемометрах и измерение иных неэлектрических величин, связанных с температурой, например, концентрации компонента в газовой смеси с помощью термокаталитических датчиков и датчиков теплопроводности в газовой хроматографии.

Измерение потоков излучения

В фотометрах применяются датчики, изменяющие своё сопротивление в зависимости от освещённости — фоторезисторы. Также существуют резистивные датчики для измерения потоков ионизирующих излучений.

Используя мост Уитстона, можно с большой точностью измерять сопротивление.

Различные модификации моста Уитстона позволяют измерять другие физические величины:

• ёмкость;
• индуктивность;
• импеданс;
• концентрацию газов;
• и другое.

Прибор explosimeter (англ.) позволяет определить, превышена ли допустимая концентрация горючих газов в воздухе.

Мост Кельвина (англ. Kelvin bridge), также известный как мост Томсона (англ. Thomson bridge), позволяет измерять малые сопротивления, изобретён Томсоном.

Прибор Максвелла позволяет измерять силу переменного тока, изобретён Максвеллом в 1865 году, усовершенствован Блюмлейном около 1926 года.

Мост Максвелла (англ. Maxwell bridge) позволяет измерять индуктивность.

Мост Фостера (англ. Carey Foster bridge) позволяет измерять малые сопротивления, описан Фостером (англ. Carey Foster) в документе, опубликованном в 1872 году.

Делитель напряжения Кельвина-Варли (англ. Kelvin–Varley divider) построен на основе моста Уитстона.

В СССР и России Краснодарским заводом измерительных приборов выпускались следующие марки измерительных мостов с ручной наводкой на равновесие^[3]:

• ММВ (измерения сопротивления проводников постоянному току);
• Р333 (измерение по схеме одинарного моста, определение места повреждения кабеля по схемам петли Муррея и Варлея);
• МО-62.

• Мост Шеринга — схема для измерения ёмкости.
• Потенциометр (англ. potentiometer) — прибор для измерения ЭДС.
• Омметр (англ. ohmmeter) — прибор для измерения сопротивления.
• Реохорд — устройство для измерения сопротивления и ЭДС.

• Панфилов В. А. Электрические измерения. — Академия, 2006.

• Электротехнический справочник. В 3-x томах / Герасимов В. Г. и др. — 6-е издание. — М.: Энергия, 1980. — Т. 1. — 520 с.