Неравенство Высочанского — Петунина

Неравенство Высочанского — Петунина — математическое соотношение, задающее нижнюю границу для вероятности, с которой случайная величина с конечной дисперсией находится внутри интервала, определяющегося отступом от среднего значения этой случайной величины в обе стороны на величину, кратную стандартному отклонению.

Единственным ограничением на функцию плотности распределения вероятности является условие одномодальности. Из этого, в частности, вытекает, что такая функция плотности распределения является непрерывной за исключением точки моды, которая может иметь вероятность больше нуля. Неравенство справедливо в том числе и для резко асимметричных распределений и тем самым устанавливает границы для множества значений случайной величины, попадающих в определённый интервал.

Пусть ${\displaystyle P}$ — вероятность, ${\displaystyle X}$ — случайная величина с одномодальным распределением, средним значением ${\displaystyle \mu }$ и конечной ненулевой дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Тогда для любого ${\displaystyle \lambda >{\sqrt {8/3}}\approx 1,63299}$ имеет место неравенство

${\displaystyle P(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2}}}.}$

Можно показать, что в случае, когда ${\displaystyle \lambda <{\sqrt {8/3}}}$, существуют несимметричные распределения, для которых граница ${\displaystyle 4/\left(9\lambda ^{2}\right)}$ нарушается.

Данная теорема усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь ${\displaystyle 4/9}$, за счёт наложения на плотность распределения случайной величины условия одномодальности.

В приложениях математической статистики очень часто используется эвристическое правило, при котором ${\displaystyle \lambda =3}$, что соответствует верхней границе вероятности непопадания значений величины в три стандартных отклонения. Данная вероятность равна ${\displaystyle 4/81\approx 0,04938}$, по ней можно построить интервал, включающий ${\displaystyle 95,06\%}$ значений случайной величины. В случае нормального распределения граница для трех стандартных отклонений ухудшается до ${\displaystyle 99,73\%}$, что в ряде областей применения числа стандартных отклонений или вероятностных оценок через укладывание в стандартные отклонения очень критично.

• Неравенство Гаусса — похожий результат, где расстояние берётся не от среднего, а от моды.

• Высочанский Д. Ф., Петунин Ю. И. Обоснование правила ${\displaystyle 3\sigma }$ для одномодальных распределений // Теория вероятностей и математическая статистика. — 1979. — Т. 21. — С. 23—35.