Неравенство Герретсена

Шаблон:Геометрия треугольника

Неравенство Герретсена — двойное неравенство в геометрии треугольника, связывающее полупериметр треугольника с радиусами его вписанной и описанной окружностей. Названо по имени голландского математика Иоханнеса Герретсена, впервые опубликовавшего его в 1953 году^[1].

Для любого невырожденного треугольника со сторонами ${\displaystyle a,b,c}$, полупериметром ${\displaystyle s={\dfrac {a+b+c}{2}}}$, радиусом описанной окружности ${\displaystyle R}$ и радиусом вписанной окружности ${\displaystyle r}$ выполняется двойное неравенство:

${\displaystyle 16Rr-5r^{2}\leq s^{2}\leq 4R^{2}+4Rr+3r^{2}.}$

Равенство в правой части достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. Левая часть является предельной и достигается в случае, когда треугольник вырождается в отрезок^[2].

Рассмотрим неравенство:

${\displaystyle s^{2}\leq 4R^{2}+4Rr+3r^{2}.}$

Обозначим через ${\displaystyle I}$ — инцентр (центр вписанной окружности), а через ${\displaystyle H}$ — ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника. Квадрат расстояния между этими точками всегда неотрицателен: ${\displaystyle IH^{2}\geq 0}$.

Существует алгебраическое выражение для ${\displaystyle IH^{2}}$ через длины сторон ${\displaystyle a,b,c}$^[3]:

${\displaystyle IH^{2}={\dfrac {N(a,b,c)}{(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)}},}$

где числитель ${\displaystyle N(a,b,c)}$ — симметричный многочлен шестой степени:

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a,b,c)={}&a^{6}-a^{5}b-a^{4}b^{2}+2a^{3}b^{3}-a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6}\\&-a^{5}c+3a^{4}bc-2a^{3}b^{2}c-2a^{2}b^{3}c+3ab^{4}c+b^{5}c\\&-a^{4}c^{2}-2a^{3}bc^{2}+6a^{2}b^{2}c^{2}-2ab^{3}c^{2}-b^{4}c^{2}\\&+2a^{3}c^{3}-2a^{2}bc^{3}-2ab^{2}c^{3}+2b^{3}c^{3}\\&-a^{2}c^{4}+3abc^{4}-b^{2}c^{4}-ac^{5}-bc^{5}+c^{6}.\end{aligned}}}$

Знаменатель равен ${\displaystyle 16\Delta ^{2}}$, где ${\displaystyle \Delta }$ — площадь треугольника, и, следовательно, положителен. Из условия ${\displaystyle IH^{2}\geq 0}$ следует ${\displaystyle N(a,b,c)\geq 0}$.

С другой стороны, используя стандартные тождества

${\displaystyle r={\dfrac {\Delta }{s}},\quad R={\dfrac {abc}{4\Delta }},}$

можно показать, что

${\displaystyle N(a,b,c)=16s^{2}r^{2}\left(4R^{2}+4Rr+3r^{2}-s^{2}\right).}$

Поскольку ${\displaystyle s>0}$ и ${\displaystyle r>0}$, множитель ${\displaystyle 16s^{2}r^{2}}$ положителен. Следовательно, из ${\displaystyle N(a,b,c)\geq 0}$ следует

${\displaystyle 4R^{2}+4Rr+3r^{2}-s^{2}\geq 0,}$

то есть

${\displaystyle s^{2}\leq 4R^{2}+4Rr+3r^{2},}$

что и требовалось доказать.

Равенство достигается при ${\displaystyle IH=0}$, то есть когда инцентр и ортоцентр совпадают, что возможно только в равностороннем треугольнике.

• Треугольник
• Геометрические неравенства
• Неравенство Эйлера
• Формула Герона

1. ↑ Gerretsen, J. Ongelijkheden in de driehoek. Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, 1953, Vol. 41, pp. 1–7.
2. ↑ Mitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Volenec, V. Recent Advances in Geometric Inequalities. Kluwer Academic Publishers, 1989.
3. ↑ Yang, X. A new proof of Gerretsen's inequalities. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2001, Vol. 2, No. 2, Article 21.

• Mitrinović D. S., Pečarić J. E., Volenec V. Recent Advances in Geometric Inequalities. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.
• Bottema O. et al. Geometric Inequalities. — Groningen: Wolters-Noordhoff, 1969.