Норма Шаттена

В математике, особенно в области функционального анализа, шаттеновской нормой (англ. Schatten norm) или нормой Шаттена — фон Неймана называется норма, которая, подобно ядерной норме и норме Гильберта — Шмидта, была введена как обобщение p-интегрируемости. Названа в честь Роберта Шаттена (на английском: Robert Schatten).

Пусть ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ — сепарабельные гильбертовы пространства, и пусть ${\displaystyle T}$ — (линейный) компактный оператор из ${\displaystyle H_{1}}$ в ${\displaystyle H_{2}}$. Для ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ шаттеновская p-норма оператора ${\displaystyle T}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle ||T||_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}.}$

Здесь ${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \dotsb \geq s_{n}(T)\geq \dotsb \geq 0}$ — сингулярные числа оператора ${\displaystyle T}$, то есть собственные значения компактного эрмитова оператора ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$. Из функционального исчисления для положительного оператора ${\displaystyle T^{*}T}$ следует:

${\displaystyle ||T||_{p}^{p}=\operatorname {tr} (|T|^{p})}$

Операторы, для которых шаттеновская норма конечна, называются операторами шаттеновского p-класса, а пространство таких операторов обозначается ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$. Относительно шаттеновской нормы пространство ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ является банаховым пространством, а в случае p=2 — гильбертовым пространством операторов Гильберта — Шмидта.

Шаттеновская норма унитарно инвариантна. То есть для унитарных операторов ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ выполняется:

${\displaystyle ||UTV||_{p}=||T||_{p}}$

С помощью полярного разложения можно доказать, что пространство операторов шаттеновского p-класса является идеалом в B(H). Заметим, что ${\displaystyle ||\ ||_{2}}$ — это норма Гильберта — Шмидта (см. Гильберта — Шмидта оператор), а ${\displaystyle ||\ ||_{1}}$ — ядерная норма (см. Ядерный оператор).

Пусть p, q — сопряжённые показатели (1/p + 1/q = 1), S ∈ S_p, T ∈ S_q. Тогда соответствующая шаттеновская норма удовлетворяет неравенству Гёльдера следующего вида:

${\displaystyle ||ST||_{S_{1}}\leq ||S||_{S_{p}}||T||_{S_{q}}.}$

Если обозначить через ${\displaystyle S_{\infty }}$ банахово пространство компактных операторов на H с операторной нормой, то можно показать, что неравенство Гёльдера указанного вида выполняется и для ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$. Отсюда следует, что отображение ${\displaystyle \phi :S_{p}\rightarrow S_{q}'}$, заданное формулой ${\displaystyle T\mapsto \mathrm {tr} (T(\cdot ))}$, является корректно определённым сжатием (здесь штрих ' обозначает (топологически) сопряжённое пространство).

   Норма матрицы