Нулевой морфизм

В теории категорий нулевой морфизм — это морфизм, обобщающий свойства линейных отображений в ноль.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория, и ${\displaystyle f:X\to Y}$ — морфизм в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

${\displaystyle f}$ называется постоянным морфизмом, если для любого объекта ${\displaystyle W}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и любых ${\displaystyle g,h:W\to X,f\circ g=f\circ h.}$

Соответственно, ${\displaystyle f}$ называется копостоянным морфизмом, если для любого объекта ${\displaystyle Z}$ и любых ${\displaystyle g,h\in {\mathcal {Mor}}_{\mathcal {C}}(Y,Z),g\circ f=h\circ f.}$

Нулевой морфизм — это морфизм, являющийся одновременно постоянным и копостоянным.

Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для любых двух объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ зафиксирован морфизм ${\displaystyle 0_{AB}:A\to B}$, такой что для любых объектов ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}$ и любых морфизмов ${\displaystyle f:Y\to Z,g:X\to Y}$ следующая диаграмма коммутативна:

Тогда морфизмы ${\displaystyle 0_{XY}}$ обязательно являются нулевыми. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория с нулевыми морфизмами, то ${\displaystyle 0_{XY}}$ определены однозначно.

• В категории групп (или модулей) нулевой морфизм — это гомоморфизм ${\displaystyle f:G\to H}$, отображающий все элементы ${\displaystyle G}$ в нейтральный элемент ${\displaystyle H}$. нулевой объект в категории групп — это тривиальная группа ${\displaystyle \mathbf {1} =\{1\}}$. Каждый нулевой морфизм проносится через ${\displaystyle \mathbf {1} }$, то есть ${\displaystyle f:G\to \mathbf {1} \to H}$.

• Более общо, пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория с нулевым объектом ${\displaystyle \mathbf {0} }$. Тогда для любых двух объектов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ существует единственная последовательность морфизмов

${\displaystyle 0_{XY}:X\to \mathbf {0} \to Y}$

Семейство таких морфизмов снабжает C структурой категории с нулевыми морфизмами.

• Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов ${\displaystyle {\text{set}}{\mathcal {Mor}}(X,Y)}$ является абелевой группой и имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют семейство нулевых морфизмов, делая ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ категорией с нулевыми морфизмами.

• Категория множеств не имеет нулевого объекта, но имеет начальный объект, пустое множество ${\displaystyle \emptyset }$. Единственные копостоянные функции в ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ — это функции вида ${\displaystyle \emptyset \to X}$.

• Параграф 1.7 Pareigis, Bodo. Categories and functors. — Academic Press, 1970. — Т. 39. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5.
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Category Theory. — Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973..