Обнаружение сигнала

Обнаружение сигнала — статистический выбор между двумя гипотезами: наличие или отсутствие сигнала в шуме. Задача оптимального приёма сигналов.

Допустим, что в принятом сигнале ${\displaystyle r(t)}$ может присутствовать или отсутствовать сигнал ${\displaystyle s(t,\lambda )}$, то есть принимаемый сигнал ${\displaystyle r(t)}$ равен ^[1] ${\displaystyle r(t)=\alpha s(t,\lambda )+n(t)}$, где случайная величина ${\displaystyle \alpha }$ может принимать значения 0 (сигнал отсутствует) или 1 (сигнал присутствует); ${\displaystyle s(t,\lambda )}$ — наблюдаемый на интервале наблюдения [${\displaystyle 0,T}$] детерминированный сигнал. При решении задачи обнаружении сигнала необходимо определить наличие сигнала ${\displaystyle s(t,\lambda )}$ в ${\displaystyle r(t)}$, то есть оценить значение параметра ${\displaystyle \alpha }$. При этом возможны два варианта. Априорные данные — вероятности ${\displaystyle p_{p}}$${\displaystyle _{r}(t,\alpha =0)}$ и ${\displaystyle p_{p}}$${\displaystyle _{r}(t,\alpha =1)}$ — могут быть известны или нет.

Сформулированная задача обнаружения сигнала является частным случаем общей задачи статистической проверки гипотез ^[1] . Гипотезу об отсутствии сигнала будем обозначать ${\displaystyle H_{0}}$, а гипотезу о наличии сигнала — ${\displaystyle H_{1}}$.

Если априорные вероятности ${\displaystyle P_{pr}(H_{0})}$ и ${\displaystyle P_{pr}(H_{1})}$ известны, то можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский критерий) ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle R=\sum _{i,k=0}^{1}P_{pr}(H_{i})Q_{ik}\int \limits _{X_{k}}W(x|H_{i})dx}$,

где {${\displaystyle Q_{ik}}$} — матрица потерь, а ${\displaystyle W(x|H_{i})}$ — функция правдоподобия выборки наблюдаемых данных, если предполагается истинность гипотезы ${\displaystyle H_{i}}$.

В этом случае, если априорные вероятности ${\displaystyle P_{pr}(H_{0})}$ и ${\displaystyle P_{pr}(H_{1})}$ неизвестны, то с пороговым значением ${\displaystyle h_{0}}$ сравнивается отношение правдоподобия ${\displaystyle l_{0}}$:

${\displaystyle l_{0}={\frac {F(r|H_{1})}{F(r|H_{0})}}=exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)}$,

где E — энергия сигнала, а N — односторонняя спектральная плотность гауссовского аддитивного белого шума. Если ${\displaystyle l_{0}>h_{0}}$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [${\displaystyle 0,T}$].

Если априорные вероятности ${\displaystyle P(H_{0})}$ и ${\displaystyle P(H_{1})}$ известны, то решение о наличии сигнала принимается на основе сравнения отношения апостериорных вероятностей ${\displaystyle l_{1}}$ с некоторым пороговым значением ${\displaystyle h_{1}}$ ^[1] :

${\displaystyle l_{1}={\frac {P_{ps}(H_{1})}{P_{ps}(H_{0})}}={\frac {P_{pr}(H_{1})}{P_{pr}(H_{0})}}exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)}$

Если ${\displaystyle l_{1}>h_{1}}$, то принимается гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [${\displaystyle 0,T}$].

Задача обнаружения часто встречается в радиолокации, гидролокации^[2] и других областях техники.

• Теория обнаружения сигнала