Общая развёртка

Общая развёртка — это развёртка, которая может быть согнута с образованием разных многогранников. Чтобы развёртка была правильной, не должно быть сторон без «склейки». Примеры таких развёрток в исследовательских работах датируются концом 20 века. Несмотря на это найдено мало примеров. Два класса была глубоко изучены — правильные многогранники и прямоугольные параллелепипеды (кубоиды). Поиск общих развёрток обычно делается либо путём расширенного поиска, либо путём наложения сеток, покрывающих плоскость.

Эрик Демайн, Мартин Демайн, Ито, Любив, Нара и О’Рурке доказали, что любой выпуклый многогранник может быть развёрнут, а затем свёрнут в другой выпуклый многогранник[2].

Существуют различные типы общих развёрток — строгие развёртки по рёбрам и свободные развёртки. Строгая развёртка относится к развёрткам, у которых различные многранники могут быть получены путём сгибания по тем же сгибам, при этом нет необходимости образовывать новые места сгибания. Свободная развёртка относится к противоположному случаю, когда мы можем создавать как угодно много сгибов для получения другого многогранника.

Кратность общих развёрток означает число таких развёрток для того же самого набора многогранников.

Правильные многогранники

Открытая проблема 25.31 в книге Демайна и О’Рурке Geometric Folding Algorithms гласит:

Может ли правильный многогранник быть разрезан и развёрнут в многоугольник, который может быть свёрнут в другой правильный многогранник? Например, может ли куб быть разрезан и свёрнут в тетраэдр?[3]

Эту проблему частично решил Ширакава с соавторами с помощью фрактальной развёртки, которая, как предполагается, складывается в тетраэдр и куб.

Кратность Многогранник 1 Многогранник 2 Ссылка
тетраэдр куб [4]
87 тетраэдр Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида (J17, М2+А4+М2) [5]
37 тетраэдр Плосконосый двуклиноид (J84) [5]
куб равногранный тетраэдр [6]
куб 1x1x7 и 1x3x3 кубоиды [7]
куб неправильный октаэдр [4]
октаэдр равногранный тетраэдр [8]
октаэдр равногранный тетраэдр [6]
октаэдр тритетраэдр [9]
икосаэдр равногранный тетраэдр [6]

Неправильные многогранники

Кубоиды

Общие развёртки кубоидов глубоко изучены, главным образом, Уехарой и его коллегами. К настоящему времени найдены общие развёртки до трёх кубоидов. Однако, было доказано, что существует бесконечно много развёрток, которые могут быть свёрнуты в более чем одино многогранник[10].

Площадь Кратность Кубоид 1 Кубоид 2 Кубоид 3 Ссылка
22 6495 1x1x5 1x2x3 [11]
22 3 1x1x5 1x2x3 0x1x11 [12]
28 1x2x4 √2x√2x3√2 [12]
30 30 1x1x7 1x3x3 √5x√5x√5 [11]
30 1080 1x1x7 1x3x3 [11]
34 11291 1x1x8 1x2x5 [13]
38 2334 1x1x9 1x3x4 [13]
46 568 1x1x11 1x3x5 [13]
46 92 1x2x7 1x3x5 [13]
54 1735 1x1x13 3x3x3 [13]
54 1806 1x1x13 1x3x6 [13]
54 387 1x3x6 3x3x3 [13]
58 37 1x1x14 1x4x5 [13]
62 5 1x3x7 2x3x5 [13]
64 50 2x2x7 1x2x10 [13]
64 6 2x2x7 2x4x4 [13]
70 3 1x1x17 1x5x5 [13]
70 11 1x2x11 1x3x8 [13]
88 218 2x2x10 1x4x8 [13]
88 86 2x2x10 2x4x6 [13]
160 4x4x8 √10x2√10x2√10 [12]
532 7x8x14 2x4x43 2x13x16 [14]
1792 7x8x56 7x14x38 2x13x58 [14]


Поликубы

Первым случаем нахождения общей развёртки поликубов была работа Джорджа Миллера с последующим дополнением Дональда Кнута, кульминацией чего стала головоломка «Кубигами»[15]. Она представляет собой развёртку, которая может быть свёрнута во все 7 древовидных тетракуба. Все возможные общие развёртки вплоть до пентакуба были найдены. Все найденные развёртки следуют строгому ортогональному складыванию, хотя и разрешалось свободное складывание.

Площадь Кратность Многогранник Ссылка
14 29026 Все трикубы [16]
14 Все трикубы [13]
18 68 Все древовидные тетракубы[15] [17]
22 23 пентакуба [18]
22 3 22 древовидных пентакуба [18]
22 1 непланарные пентакубы [18]

Дельтаэдры

3D Симплициальный многогранник

Площадь Кратность Многогранник Ссылка
8 1 оба 8-гранных дельтаэдра [9]
10 4 7-вершинные дельтаэдры [19]

Примечания

  1. ↑ Тритетраэдр — геометрический термин, который означает «утроенный тетраэдр». Это производная форма тетраэдра, образованная путём утроения каждой грани тетраэдра
  2. ↑ Demaine, Demaine, Itoh, Lubiw, Nara, O'Rourke, 2013.
  3. ↑ Demaine, O'Rourke, 2007.
  4. ↑ 1 2 Toshihiro, Shirakawa; Takashi, Horiyama; Ryuhei, Uehara (28 марта 2011). Construction of Common Unfolding of a Regular Tetrahedron and a Cube (PDF). 27th European Workshop on Computational Geometry (EuroCG 2011). Morschach, Switzerland. pp. 47—50.
  5. ↑ 1 2 Araki Y., Horiyama T., Uehara R. Common Unfolding of Regular Tetrahedron and Johnson-Zalgaller Solid // WALCOM: Algorithms and Computation. WALCOM 2015. Lecture Notes in Computer Science, vol 8973 / (eds) Rahman M. S., Tomita E.,. — Springer, 2015. — doi:10.1007/978-3-319-15612-5_26.
  6. ↑ 1 2 3 Ryuuhei Uehara - Nonexistence of Common Edge Developments of Regular Tetrahedron and Other Platonic Solids - Papers - researchmap. researchmap.jp. Дата обращения: 1 августа 2024.
  7. ↑ Xu D., Horiyama T., Shirakawa T., Uehara R. Common developments of three incongruent boxes of area 30 // Computational Geometry. — 2017. — Т. 64, вып. 7. — С. 1–12. — doi:10.1016/j.comgeo.2017.03.001.
  8. ↑ Erik Demaine, O'Rourke. Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-85757-4.
  9. ↑ 1 2 Weisstein, Eric. Net.
  10. ↑ Toshihiro Shirakawa,Ryuhei Uehara. Common Developments of Three Incongruent Orthogonal Boxes (англ.) // International Journal of Computational Geometry & Applications. — 2013. — February (vol. 23, iss. 1). — P. 65–71. — ISSN 0218-1959. — doi:10.1142/S0218195913500040.
  11. ↑ 1 2 3 Dawei Xu, Takashi Horiyama, Toshihiro Shirakawa, Ryuhei Uehara. Common developments of three incongruent boxes of area 30 // Computational Geometry. — 2017. — Август (т. 64). — С. 1–12. — ISSN 0925-7721. — doi:10.1016/j.comgeo.2017.03.001.
  12. ↑ 1 2 3 Zachary Abel, Erik Demaine, Martin Demaine, Hiroaki Matsui, Günter Rote, Ryuhei Uehara. Common Developments of Several Different Orthogonal Boxes // The 23rd Canadian Conference on Computational Geometr. — С. 77–82.
  13. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Jun Mitani, Ryuhei Uehara. Polygons Folding to Plural Incongruent Orthogonal Boxes // Canadian Conference on Computational Geometry. — 2008.
  14. ↑ 1 2 Toshihiro Shirakawa, Ryuhei Uehara. Common Developments of Three Incongruent Orthogonal Boxes (англ.) // International Journal of Computational Geometry & Applications. — 2013. — February (vol. 23, iss. 1). — P. 65–71. — ISSN 0218-1959. — doi:10.1142/S0218195913500040.
  15. ↑ 1 2 Miller, George; Knuth, Donald. Cubigami.
  16. ↑ Mabry, Rick. Ambiguous unfoldings of polycubes.
  17. ↑ Miller, George. Cubigami.
  18. ↑ 1 2 3 Greg Aloupis, Prosenjit K. Bose, Sébastien Collette, Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Karim Douïeb, Vida Dujmović, John Iacono, Stefan Langerman, Pat Morin. Common Unfoldings of Polyominoes and Polycubes // Computational Geometry, Graphs and Applications (англ.) / (eds) Jin Akiyama, Jiang Bo, Mikio Kano, Xuehou Tan. — Berlin, Heidelberg: Springer, 2011. — Vol. 7033. — P. 44–54. — (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 978-3-642-24983-9. — doi:10.1007/978-3-642-24983-9_5.
  19. ↑ Mabry, Rick. The four common nets of the five 7-vertex deltahedra.

Литература

  • Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Jin-ichi Itoh,Anna Lubiw,Chie Nara,Joseph OʼRourke. Refold rigidity of convex polyhedra // Computational Geometry. — 2013. — Т. 46, вып. 8. — С. 979–989. — ISSN 0925-7721. — doi:10.1016/j.comgeo.2013.05.002.
  • Erik D. Demaine, Joseph O'Rourke. Geometric folding algorithms: linkages, origami, polyhedra. — Cambridge: Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-85757-4.
Эта статья взята у (из) Википедия. Текст лицензируется по Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. К медиа файлам могут применятся дополнительные условия.