Ортогональные траектории

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если ${\displaystyle y_{1}'}$ — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а ${\displaystyle y_{2}'}$ — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то ${\displaystyle y_{1}'}$ и ${\displaystyle y_{2}'}$ должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

${\displaystyle y_{1}'=-{1 \over y_{2}'}}$

Пусть у нас есть семейство кривых ${\displaystyle g(x,y)=C}$, где ${\displaystyle C}$ — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений:

${\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0}$

Используя определение градиента, можно записать:

${\displaystyle \nabla f(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$

Таким образом:

${\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\cdot \left({\frac {\partial g}{\partial x}},{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}=0}$

Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением ${\displaystyle y=kx}$. Дифференцируя данное уравнение по переменной ${\displaystyle x}$, получаем:

${\displaystyle y'=k=\mathrm {const} }$

Исключим параметр ${\displaystyle k}$ из системы:

${\displaystyle {\begin{cases}y=kx\\y'=k\end{cases}}\Rightarrow y'={\frac {y}{x}}}$

Заменим ${\displaystyle y'}$ на ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{y'}}\right)}$:

${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}={\frac {y}{x}}\Rightarrow y'=-{\frac {x}{y}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}}$

Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:

${\displaystyle ydy=-xdx\Rightarrow \int {ydy}=-\int {xdx}\Rightarrow {\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}=C}$

Данное уравнение есть не что иное, как уравнение окружности радиуса ${\displaystyle {\sqrt {2C}}}$. Действительно:

${\displaystyle R^{2}=2C\Rightarrow x^{2}+y^{2}=R^{2}}$

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)

• Ортогональные траектории