Ошибка отбрасывания

Ошибка отбрасывания (или ошибка усечения) — это ошибка, вызванная приближённым выполненем математических операций^[1][2]. Термин «отбрасывание» происходит от того, что такие упрощения часто включают отбрасывание ряда разложения, чтобы сделать вычисления возможными и практически осуществимыми.

Разложение ${\displaystyle e^{x}}$ в ряд Тейлора имеет вид $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

На самом деле, мы можем использовать лишь конечное число этих членов, поскольку для использования всех потребовалось бы бесконечное количество вычислительного времени. Предположим, мы используем только три члена ряда, тогда.

$${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}$$

В этом случае ошибка отбрасывания будет равна ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

Пример A:

Если дан бесконечный ряд, какова будет ошибка для ${\displaystyle x=0{,}75}$ при отбрасывании всех членов последовательности после третьего? $${\displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.}$$

Решение

Вычисление суммы первых трёх членов ряда даёт $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0{,}75}\\&=1+0{,}75+\left(0{,}75\right)^{2}\\&=2{,}3125\end{aligned}}}$$

Сумма бесконечного геометрического ряда $${\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1}$$ Задаётся формулой $${\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}$$

Для нашего ряда a = 1 и ${\displaystyle r=0{,}75}$, что даёт $${\displaystyle S={\frac {1}{1-0{,}75}}=4}$$

Таким образом, ошибка отбрасывания равна $${\displaystyle \mathrm {TE} =4-2{,}3125=1{,}6875}$$

Первая производная по определению равна $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Однако, если мы вычисляем производную, величина ${\displaystyle h}$ должна быть конечной. Ошибка, вызванная выбором конечной величины ${\displaystyle h}$ будет ошибкой отбрасывания.

Пример A:

Найдём ошибку отбрасывания при вычислении производной функции ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$ в точке ${\displaystyle x=7}$ при ${\displaystyle h=0{,}25}$

Решение:

Первая производная ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$ равна $${\displaystyle f'(x)=15x^{2}}$$ И в точке ${\displaystyle x=7}$, $${\displaystyle f'(7)=735}$$

Приближённое значение равно $${\displaystyle f'(7)={\frac {f(7+0{,}25)-f(7)}{0{,}25}}=761{,}5625}$$

Ошибка отбрасывания равна $${\displaystyle \mathrm {TE} =735-761{,}5625=-26{,}5625}$$

Интеграл функции ${\displaystyle f(x)}$ от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ задаётся следующим образом.

Пусть ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ будет функцией на замкнутом отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ вещественных чисел, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, и $${\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}$$ будет разбиением интервала, где $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$$ где ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ и ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$.

Это означает, что мы находим площадь под кривой, используя бесконечное количество прямоугольников. Однако, если мы вычисляем интеграл численно, мы можем использовать только конечное число прямоугольников. Ошибка, возникающая из-за выбора конечного числа прямоугольников вместо бесконечного, является ошибкой отбрасывания в математическом процессе интегрирования.

Пример A.

Для интеграла $${\displaystyle \int _{3}^{9}x^{2}{dx}}$$ Какова ошибка отбрасывания, если для аппроксимации используется левосторонняя сумма Римана с двумя равными сегментами.

Решение

Точное значение интеграла равно $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}}$$

Используя два прямоугольника одинаковой ширины для аппроксимации площади под кривой, получим приближенное значение интеграла

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ошибка отбрасывания}}&={\text{Точное значение}}-{\text{Вычисленное значение }}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}}$$

Ошибка усечения может привести к тому, что в компьютере ${\displaystyle (A+B)+C\neq A+(B+C)}$, например, при ${\displaystyle A=-10^{25},B=10^{25},C=1}$. Это происходит потому, что ${\displaystyle (A+B)+C=(0)+C=1}$ (как и должно быть), в то время как ${\displaystyle A+(B+C)=A+(B)=0}$. В данном случае ошибка отбрасывания для ${\displaystyle A+(B+C)}$ равна 1. Эта ошибка возникает из-за того, что компьютеры не сохраняют младшие разряды чрезвычайно большого целого числа.

• Квантование (обработка сигналов)