Полоса (математика)

Полоса́^{[комм 1]} (синоним — поло́ска^[1]) — множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными прямыми плоскости^[2][3][4]. Эти две прямые ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосы^{[комм 1][5][1]}.

Полоса является выпуклой областью^[6], а также частным случаем трубчатой области^[7].

В общем двумерном случае на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с координатами ${\displaystyle (x,\,y)}$ координаты точек плоской полосы отвечают следующим неравенствам, использующим общее уравнение прямой:

${\displaystyle C_{1}<Ax+By<C_{2}}$,

где ${\displaystyle A,\,B,\,C_{1},\,C_{2}}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одновременно не равны нулю^[2][3][4].

В литературе подобные неравенства часто также пишут в нестрогом виде^[8][9][10]:

${\displaystyle C_{1}\leqslant Ax+By\leqslant C_{2}}$,

Полосу можно также определить, задав уравнения прямых, которые её ограничивают, или даже указав направление этих прямых, точку на плоскости на середине полосы и её ширину^[1].

Обычно система координат подбирается таким образом, чтобы прямые, которые ограничивают полосу, были параллельны одной из осей координат^[5][1].

Горизонтальная полоса^{[комм 1]}, или полоса, параллельная оси абсцисс — полоса, ограничивающие прямые которой параллельны горизонтальной оси абсцисс^[1][11].

Вертикальная полоса^{[комм 1]}, или полоса, параллельная оси ординат — полоса, ограничивающие прямые которой параллельны вертикальной оси ординат^[1][11].

При использовании горизонтальных и вертикальных полос неравенство полосы упрощается. Горизонтальную полосу можно задавать следующими неравенствами^{[8][9][12][10][13]}:

${\displaystyle C_{1}<y<C_{2}}$, ${\displaystyle \quad C_{1}\leqslant y\leqslant C_{2}}$, ${\displaystyle \quad |y|<C}$, ${\displaystyle \quad |y|\leqslant C}$,

а вертикальную полосу — следующими неравенствами:

${\displaystyle C_{1}<x<C_{2}}$, ${\displaystyle \quad C_{1}\leqslant x\leqslant C_{2}}$, ${\displaystyle \quad |x|<C}$, ${\displaystyle \quad |x|\leqslant C}$.

На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатами ${\displaystyle z=x+iy}$ конформное преобразование ${\displaystyle w=e^{z}}$ отображает полосу ${\displaystyle 0<y<\pi }$ на верхнюю полуплоскость^{[2][3][4][14]}, а полосу ${\displaystyle 0<y<2\pi }$ — на всю плоскость без положительной полуоси ${\displaystyle \{x>0,\,y=0\}}$^[15]. Однолистное и конформное преобразование ${\displaystyle w=\operatorname {tg} z}$ отображает полосу ${\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}<x<{\frac {\pi }{4}}}$ на внутренность единичного круга^[16].

Полуполоса — любая из двух областей, на которые разбивает полосу прямая, её пересекающая. Например, вертикальную полуполосу можно задать следующими неравенствами^[17]:

${\displaystyle C_{1}<x<C_{2},\,y>0.}$

На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатами ${\displaystyle z=x+iy}$ однолистное и конформное преобразование ${\displaystyle w=\sin z}$ отображает полуполосу ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y>0}$ на верхнюю полуплоскость. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именно^[18]:

• вертикальные лучи ${\displaystyle \{x=x_{0},\,0<y<\infty \}}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части гипербол с фокусами ${\displaystyle \pm 1}$;
• горизонтальные отрезки ${\displaystyle \{-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y=y_{0}\}}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части эллипсов с теми же фокусами ${\displaystyle \pm 1}$.

• Преобразование полуполосы в полуплоскость
• Преобразование вертикальной полуполосы в верхнюю полуплоскость функцией ${\displaystyle w=\sin z}$

Пространственная полоса — в случае трёхмерного пространства множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными плоскостями пространства^{[19][20][2][3][4]}. Эти две плоскости ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосы^{[комм 1][5][1]}.

В пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ систему координат ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}$ можно подобрать таким образом, что координаты точек пространственной ${\displaystyle n}$-мерной полосы будут задаваться следующими неравенствами:

${\displaystyle C_{1}<x_{1}<C_{2}}$,

где ${\displaystyle C_{1},\,C_{2}}$ — постоянные^{[19][2][3][4]}.

1. ↑ ^{1 2 3 4 5} Имеется перевод на английский язык.

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава VI. Функции и пределы. § 4. Точное определение непрерывности, с. 338.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5} Полоса. БСЭ 3, 1975.
3. ↑ ^{1 2 3 4 5} Полоса. МЭ, 1984.
4. ↑ ^{1 2 3 4 5} Полоса. МЭС, 1988.
5. ↑ ^{1 2 3} Клейн Ф. Высшая геометрия, 2004, § 34. Перспектограф и пантограф, с. 148—149.
6. ↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 21. Построение оболочек голоморфности, 4. Функции, голоморфные в полутрубчатых областях, с. 218.
7. ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 2, 1976, 2. Простейшие области, с. 19.
8. ↑ ^{1 2} Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций, 1964, Глава V. Внутренние отображения… I. Основные топологические свойства аналитических функций, с. 135.
9. ↑ ^{1 2} Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 11. Выпуклые функции. 6. Логарифмически выпуклые функции, с. 113.
10. ↑ ^{1 2} Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 5. Огибающие. Семейства и огибающие, с. 94.
11. ↑ ^{1 2} Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика, 1969, 2.2. Топологическое пространство, с. 30.
12. ↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 27. Теорема «острие клина» Боголюбова. 5. Пример построения оболочки голоморфности, с. 307; 309.
13. ↑ Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика, 1969, 13.1. Одно уравнение, с. 215.
14. ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 13. Показательная функция, с. 72.
15. ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 13. Показательная функция, с. 71—72.
16. ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 13. Показательная функция, с. 76.
17. ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 13. Показательная функция, с. 73.
18. ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 13. Показательная функция, с. 73—74.
19. ↑ ^{1 2} Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение. § 3. Выпуклые области, с. 99—100.
20. ↑ Бляшке В. Круг и шар, 1967, § 25. Ограничения для значений кривизны выпуклых поверхностей, с. 145.

• Бляшке В. Круг и шар = Wilhelm Blaschke. Kreis und Kugel: 2., durchgesehene und verbesserte Auflage (1936) (рус.) / Пер. с нем. В. А. Залгаллера и С. И. Залгаллер под ред. В. А. Залгаллера и И. М. Яглома. — М.: «Наука», 1967. — 232 с., ил.
• Бохнер С., Мартин У. Т.. Функции многих комплексных переменных = Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables (1948) (рус.) / Пер. с англ. Б. А. Фукса. — М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. — 300,[1] с.: ил.
• Брус Дж., Джиблин П.. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей = J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory (1984) (рус.) / Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда. — М.: «Мир», 1988. — 262 с.: ил. — (Современная математика. Вводные курсы). — 14 000 экз. — ISBN 5-03-001194-3.
• Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных (рус.) / предисл. академика Н. Н. Боголюбова. — М.: «Наука», 1964. — 411 с., ил. — 7500 тыс. экз.
• Клейн Ф. Высшая геометрия = Felix Klein. Vorlesungen über höhere Geometrie (рус.) / Пер. с нем. Н. К. Брушлинского. — 2-е изд., стереотип. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 399 с., ил. — 500 экз. — ISBN 5-354-00603-1.
• Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика = Lothar Collatz. Funktionalanalysis und numerische Mathematik (1964) (рус.) / Пер. с нем. И. Г. Нидеккер под ред. А. Д. Горбунова. — М.: «Мир», 1969. — 447 с.: ил.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов = Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (рус.) / пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. — 7-е изд., стереотип.. — М.: Издательство МЦНМО, 2015. — 564 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 978-5-4439-0628-7.
• Полоса // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) (рус.) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1975. — Т. 20 Плата — проб. — С. 249. — 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт. — 630 тыс. экз.
• Полоса // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 4 Ок—Сло. — Стб. 437. — 1216 стб., ил. — 148 900 экз.
• Полоса // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 473. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций = Stoïlow S. Leçons sur les Principes Topologiques de la Théorie des Fonctions Analytiques (1956) (рус.) / Пер. с фр. Е. И. Стечкиной с предисл. Б. В. Шабата. — М.: «Наука», 1964. — 227 с., ил. — 6200 экз.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ (рус.). Часть I. Функции одного переменного. — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: «Наука», 1976. — Т. 1. — 320 с., ил. — 20 000 экз.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ (рус.). Часть II. Функции нескольких переменных. — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: «Наука», 1976. — Т. 2. — 400 с., ил. — 20 000 экз.

• Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (англ.) / revised by Ian Stewart. — Second Edition. — New York · Oxford: Oxford University Press, 1996. — XVII+566 p. — ISBN 978-1-4612-7115-4. — ISBN 978-1-4612-1366-6 (eBook).