Полупараметрическая модель

В статистике полупараметрическая модель — статистическая модель, содержащая параметрические и непараметрические составляющие.

Статистическая модель — это параметрическое семейство распределений: ${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$, с параметром ${\displaystyle \theta }$ в индексе.

• Параметрическая модель — это модель, где параметр ${\displaystyle \theta }$ является ${\displaystyle k}$-мерным вектором в ${\displaystyle k}$-мерном Евклидовом пространстве^[1]. Таким образом, ${\displaystyle \theta }$ конечномерный вектор и ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}}$.
• В случае непараметрической модели множество возможных значений параметра ${\displaystyle \theta }$ является подмножеством некоторого пространства ${\displaystyle V}$, которое необязательно конечномерное. Например, множество всех распределений со средним ${\displaystyle 0}$. Такие пространства являются топологическими векторными пространствами, но не обязательно конечномерны как векторные пространства. Таким образом, ${\displaystyle \Theta \subseteq V}$ для некоторого возможно бесконечномерного пространства ${\displaystyle V}$.
• В случае полупараметрической модели, параметр имеет и конечномерную, и бесконечномерную составляющую (зачастую вещественнозначная функция, определённая на вещественной оси). Соответственно, ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}\times V}$, где ${\displaystyle V}$ — бесконечномерное пространство.

Хоть полупараметрические модели имеют бесконечномерную составляющую, множество полупараметрических моделей не включает в себя множество непараметрических моделей. Множество полупараметрических моделей считается "меньшим", чем множество непараметрических моделей, поскольку зачастую интерес представляет только конечномерная компонента ${\displaystyle \theta }$. Бесконечномерная компонента рассматривается как мешающий параметр^[2]. В непараметрических моделях основной интерес представляет бесконечномерный параметр, поэтому задача оценки в непараметрических моделях статистически сложнее (обладает большей статистической сложностью).

Такие модели часто используют сглаживание или ядра.

Модель пропорциональных рисков Кокса^[3] — известный пример полупараметрической модели. Если нас интересует время ${\displaystyle T}$ до такого события, как смерть от рака или отказ лампыы, модель Кокса предлагает следующую функцию распределения ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}^{t}\lambda _{0}(u)e^{\beta x}du\right)}$,

где ${\displaystyle x}$ — вектор ковариат (независимых переменных), а ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ — неизвестные параметры. ${\displaystyle \theta =(\beta ,\lambda _{0}(u))}$. Обычно интерес представляет конечномерная ${\displaystyle \beta }$, а ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ — неизвестная неотрицательная функция времени (базовая функция риска), часто является мешающим параметром. Множество возможных вариантов ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ бесконечномерное.

• Полупараметрическая регрессия
• Статистическое моделирование
• Обобщённый метод моментов

1. ↑ Bickel, P. J.; Klaassen, C. A. J.; Ritov, Y.; Wellner, J. A. (2006). Semiparametrics. In Kotz, S.; et al. (eds.). Encyclopedia of Statistical Sciences (англ.). Wiley.
2. ↑ Oakes, D.  (2006). Semi-parametric models. In Kotz, S.; et al. (eds.). Encyclopedia of Statistical Sciences (англ.). Wiley.{{cite encyclopedia}}: Википедия:Обслуживание CS1 (лишняя пунктуация) (ссылка)
3. ↑ Balakrishnan, N. Handbook of Statistics 23: Advances in Survival Analysis : [англ.] / N. Balakrishnan, C. R. Rao. — Elsevier, 2004. — P. 126.

• Bickel, P. J. Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models : [англ.] / P. J. Bickel, C. A. J. Klaassen, Y. Ritov … [et al.]. — Springer, 1998.

• Härdle, Wolfgang. Nonparametric and Semiparametric Models : [англ.] / Wolfgang Härdle, Marlene Müller, Stefan Sperlich … [et al.]. — Springer, 2004.

• Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference : [англ.]. — Springer, 2008.

• Tsiatis, Anastasios A. Semiparametric Theory and Missing Data : [англ.]. — Springer, 2006.

• Begun, Janet M.; Hall, W. J.; Huang, Wei-Min; Wellner, Jon A. (1983). Information and asymptotic efficiency in parametric–nonparametric models. Annals of Statistics (англ.). 11 (2): 432—452.