Порядок на мономах

Мономиальный порядок — линейный порядок ${\displaystyle >}$ на пространстве мономов (со старшим коэффициентом 1) в данном кольце многочленов, такой что для любой тройки мономов ${\displaystyle u,v,w}$, если ${\displaystyle u\geq v}$, то и ${\displaystyle uw\geq vw}$.

Мономиальные порядки используются для построения базисов Грёбнера и определения операции деления с остатком в кольцах многочленов с несколькими переменными. В частности, свойство набора многочленов быть базисом Грёбнера зависит от выбора конкретного мономиального порядка.

1. Лексикографический (словарный) порядок ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>..>x_{n}}$

${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}...x_{n}^{k_{n}}>x_{1}^{l_{1}}...x_{n}^{l_{n}}\Longleftrightarrow }$ (существует такое ${\displaystyle i:k_{i}>l_{i}}$ и ${\displaystyle k_{j}=l_{j}}$ при ${\displaystyle j<i}$)

Проще говоря, происходит упорядочивание переменных в одночленах в алфавитном порядке до первого различия в одночленах (${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{3}x_{4}^{11}<x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{6}x_{4}^{2}}$)

2. Степенно-словарный порядок

${\displaystyle u=x_{1}^{k_{1}}...x_{n}^{k_{n}}>v=x_{1}^{l_{1}}...x_{n}^{l_{n}}\Longleftrightarrow \sum k_{i}>\sum l_{i}}$ или ${\displaystyle \sum k_{i}=\sum l_{i}}$, но при этом ${\displaystyle u>v}$ в словарном порядке

Происходит упорядочивание по сумме степеней; в случае равенства сумм происходит сравнение по словарному порядку (${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{3}x_{4}^{11}>x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{6}x_{4}^{2}}$)