Последовательность Майера — Вьеториса

Последовательность Майера — Вьеториса  — естественная длинная точная последовательность, связывающая гомологии пространства с гомологиями двух покрывающих его открытых множеств и их пересечения.

Последовательность Майера — Вьеториса можно написать для различных теорий  гомологий, в том числе сингулярных, а также для всех теорий, удовлетворяющих аксиомам Стинрода — Эйленберга.

Названа в честь двух австрийских математиков, Вальтера Майера и Леопольда Вьеториса.

Предположим, топологическое пространство ${\displaystyle X}$ представляется как объединение открытых подмножеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Последовательность Майера — Вьеториса:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}}$

Здесь отображения ${\displaystyle i\colon A\cap B\to A}$, ${\displaystyle j\colon A\cap B\to B}$, ${\displaystyle k\colon A\to X}$, ${\displaystyle l\colon B\to X}$ — отображения включения, и ${\displaystyle \oplus }$ обозначает прямую сумму абелевых групп.

Отображение границы ${\displaystyle \partial _{*}}$, понижающее размерность, может быть определено следующим образом. Элемент в ${\displaystyle H_{n}(X)}$ представляется ${\displaystyle n}$-циклом ${\displaystyle x}$, который может быть записан как сумма двух ${\displaystyle n}$-цепей ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$, образы которых лежат полностью в ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, соответственно. Этого можно добиться, применив к ${\displaystyle x}$ барицентрическое подразделение несколько раз.

Таким образом, ${\displaystyle \partial x=\partial u+\partial v=0}$, так что ${\displaystyle \partial u=-\partial v}$. Заметим, что обе границы ${\displaystyle \partial u}$ и ${\displaystyle \partial v}$ лежат в ${\displaystyle A\cap B}$. Тогда ${\displaystyle \partial _{*}[x]}$ определяется как класс ${\displaystyle [\partial u]\in H_{n-1}(A\cap B)}$. При этом выбор разложения ${\displaystyle x=u+v}$ не влияет на значение ${\displaystyle [\partial u]}$.

• Отображения в последовательности зависят от выбора порядка для ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.
  • В частности, отображение границы меняет знак, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ меняются местами.

Чтобы вычислить гомологии k-мерной сферы, представим сферу ${\displaystyle S^{k}}$ как объединение двух k-мерных дисков ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с пересечением, гомотопически эквивалентным ${\displaystyle (k-1)}$-мерной экваториальной сфере ${\displaystyle S^{k-1}}$. Поскольку ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ стягиваемы, из последовательности Майера — Вьеториса следует точность последовательностей

${\displaystyle 0\rightarrow H_{n}(S^{k}){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(S^{k-1})\rightarrow 0}$

при ${\displaystyle n\geqslant 1}$. Точность сразу влечёт, что гомоморфизм ∂_* является изоморфизмом при ${\displaystyle n\geqslant 1}$. Следовательно,

${\displaystyle H_{n}(S^{k})\cong \mathbb {Z} }$, если ${\displaystyle n=k,0}$,

иначе ${\displaystyle H_{n}(S^{k})\cong 0}$

Для вычисления гомологий бутылки Клейна представим её, как объединение двух лент Мебиуса ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, склеенных вдоль их граничной окружности. Тогда ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и их пересечение ${\displaystyle A\cap B}$ гомотопически эквивалентны окружности.  Нетривиальная часть последовательности дает

${\displaystyle 0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \,\mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\alpha }}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{1}(X)\rightarrow 0}$

Тривиальная часть влечёт обнуление гомологий в размерностях 3 и выше. Заметим, что ${\displaystyle \alpha (1)=(2,2)}$, поскольку граничная окружность листа Мёбиуса оборачивается дважды вокруг его средней линии. В частности, ${\displaystyle \alpha (1)}$ инъективен. Следовательно, ${\displaystyle H_{2}(X)=0}$. Выбирая базис (1, 0) и (1, 1) в ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$, получаем

${\displaystyle {H}_{1}\left(X\right)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$

• Редуцированные гомологии также удовлетворяют последовательности Майера — Вьеториса в предположении, что ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ имеют непустое пересечение. Эта последовательность идентична обычной, но заканчивается следующим образом:

  ${\displaystyle \cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\rightarrow \,0.}$

• Для относительных гомологий последовательность выглядит следующим образом:

  ${\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots }$

• Теорема ван Кампена