Постоянная Гаусса (математика)

Постоя́нная Га́усса (обозначение — G) — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2: $${\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0{,}8346268\dots }$$ (последовательность A014549 в OEIS).

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799 году обнаружил^[1], что $${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}},}$$ чтобы^{[прояснить]} $${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right),}$$ где Β обозначает бета-функцию.

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$: $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}.}$$

В качестве альтернативы, $${\displaystyle G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}$$ а поскольку ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$ алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют^[2][3] эквивалент $${\displaystyle \varpi =\pi G,}$$ которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций (знак ${\displaystyle \varpi }$ носит название «помега» и является вариантом буквы π).

Число ${\displaystyle \varpi }$ равно половине длины лемнискаты Бернулли ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}$.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются константами лемнискаты, первая из которых $${\displaystyle A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right),}$$ и вторая константа $${\displaystyle B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right).}$$

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. Теодор Шнайдер доказал трансцендентность ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ в 1937 и 1941 годах соответственно.^[4]

Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом: $${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi }).}$$ Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий: $${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}\,e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$$ Константу также можно выразить бесконечным произведением $${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\operatorname {th} ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$$ Эта константа появляется при оценке интегралов $${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin x}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos x}}\,dx,}$$ $${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\operatorname {ch} \pi x}}}.}$$ Представление константы в виде непрерывной дроби: $${\displaystyle G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\dots ]}$$ (последовательность A053002 в OEIS).

• Weisstein, Eric W. Gauss's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.