Потенциальная ступенька

Потенциа́льная ступе́нька — профиль потенциальной энергии частицы ${\displaystyle U}$, характеризующийся резким переходом от одного (принимаемого за нулевое, для удобства) значения к другому (${\displaystyle V_{0}}$). Такие профили анализируются в квантовой механике, при этом коэффициент прохождения частицы с полной энергией ${\displaystyle E>V_{0}}$ оказывается отличным от единицы.

Простейшим профилем потенциала указанного типа является скачок:

${\displaystyle U(x)=0}$ при ${\displaystyle x<0\quad }$ и ${\displaystyle \quad U(x)=V_{0}}$ при ${\displaystyle x>0}$.

Для учёта некоторого размытия перехода используется выражение

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a={\mbox{const}}>0}$,

моделирующее монотонное возрастание от 0 на ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle V_{0}}$ на ${\displaystyle +\infty }$.

Потенциальная ступенька может формироваться, например, координатной зависимостью энергии ${\displaystyle U(x)=E_{c}(x)}$ дна зоны проводимости полупроводниковой гетероструктуры, когда из-за разности сродства к электрону двух материалов на их стыке возникает достаточно резкий скачок ${\displaystyle E_{c}}$.

Стационарное уравнение Шрёдингера для скачкообразной потенциальной ступеньки имеет вид:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)}$ для ${\displaystyle x>0}$,

и то же самое без слагаемого с ${\displaystyle V_{0}}$ для ${\displaystyle x<0}$. Здесь ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, а ${\displaystyle \Psi }$ — волновая функция частицы. Предполагается, что частица движется в сторону положительных ${\displaystyle x}$. Далее все символы с цифрой 1 относятся к области ${\displaystyle x<0}$, а с цифрой 2 — к ${\displaystyle x>0}$.

Считая, что ${\displaystyle E>V_{0}}$, волновую функцию для областей 1 (${\displaystyle \Psi =\psi _{1}}$) и 2 (${\displaystyle \Psi =\psi _{2}}$) запишем как

${\displaystyle \psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)}$,

где

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}},\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}}$.

Из требования непрерывности волновой функции и её производной в точке ${\displaystyle x=0}$ получим

${\displaystyle 1+r=t}$

${\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2}}$,

что даёт

${\displaystyle r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}}$.

В итоге имеем коэффициенты отражения (надбарьерного отражения) и прохождения:

${\displaystyle R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}}}\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\right)^{2}}}}$.

Этот результат принципиально отличается от классического: в классической механике никакого отражения в таком случае нет, а ${\displaystyle T=1}$ независимо от ${\displaystyle E}$.

Стационарное уравнение Шрёдингера для размытой потенциальной ступеньки (степень размытия задаётся параметром ${\displaystyle a}$: чем он меньше, тем ближе потенциал к скачкообразному) записывается:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)}$

Если обозначить ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$ и ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2}}}}$, то оно примет вид

${\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).}$

Если сделать замену переменной

${\displaystyle y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a}}}},}$

то, с учётом обозначения ${\displaystyle \varkappa =ka}$, приведётся к виду:

${\displaystyle y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y)}}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.}$

Так как точки ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=1}$ являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:

${\displaystyle \Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).}$

Если выбрать ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2}}}}$ и ${\displaystyle \mu =i\varkappa }$, то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:

${\displaystyle y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.}$

Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим

${\displaystyle f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)}$

Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае ${\displaystyle E<V_{0}}$:

${\displaystyle R=1,\qquad T=0.}$

Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае ${\displaystyle E>V_{0}}$ с учётом обозначения ${\displaystyle \sigma =i\nu }$:

${\displaystyle R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )}}\right)^{2}}$

В пределе ${\displaystyle a\rightarrow 0}$

${\displaystyle R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}}$,

что совпадает с результатом предыдущего раздела, если вернуться к изначальным переменным.

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.