Дифференцирование сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Если функция ${\displaystyle f}$ имеет производную в точке ${\displaystyle x_{0}}$, а функция ${\displaystyle g}$ имеет производную в точке ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, то сложная функция ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ также имеет производную в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Пусть ${\displaystyle h(x)=f(g(x));}$ ${\displaystyle g,h-}$ дифференцируемы в некотором ${\displaystyle x\in D(g)}$, ${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle g(x)}$.

Если ${\displaystyle f}$ - линейна, то зная как меняется значение ${\displaystyle f}$ при изменении всего аргумента ${\displaystyle g(x)}$ на единицу (или на любое другое число, однако удобней рассматривать прирост на единицу), используя такое изменение ${\displaystyle f}$, как "мерило" (эталон), то есть зная, какое изменение функции приходится на единичное изменение аргумента, можно определять изменение функции для произвольного изменения аргумента - путём взятия прироста функции, приходящегося на единичный прирост аргумента, в количестве произвольного прироста аргумента, то есть путём их перемножения:

${\displaystyle {\text{прирост}}(h(x+1))={\text{прирост(f(g(x)+1))}}\times {\text{прирост(g(x+1))}}}$

${\displaystyle {\text{прирост}}(g(x+1))}$ - как раз один из частных случаев произвольного прироста аргумента как функции.

В общем случае, функция ${\displaystyle f}$ не обязана быть линейной, а при нахождении производной прирост аргумента бесконечно мал, а не равен единице. В этой связи, использование в качестве "мерила" прироста ${\displaystyle f}$ при приросте её аргумента ${\displaystyle g(x)}$ на единицу будет неправильным. Неправильным будет вообще рассматривать прирост ${\displaystyle f}$, как "мерило".

Однако, в то же время, при придании аргументу бесконечно малого изменения, что необходимо для нахождения производной, по свойству функции, дифференцируемой в точке - бесконечно малый прирост аргумента даёт бесконечно малый прирост функции того же порядка малости, что и прирост аргумента (малые изменения аргумента дают малые изменения функции). То есть прирост функции, как величина, имеет тот же порядок (степень), что и прирост аргумента, что в свою очередь означает линейную зависимость между ними (деление, взятие корня - тоже операции возведения в степень).

Таким образом, при нахождении производной в точке, вне зависимости от природы зависимости аргумента, по свойствам функции дифференцируемой в точке, исследуемая функция в бесконечно близкой окрестности исследуемой точки (то есть при бесконечно малом приросте аргумента), рассматривается как линейно зависящая от своего аргумента^[1].

Исходя из линейной природы любой дифференцируемой функции в бесконечно близкой окрестности некоторой точки, соображения, применявшиеся выше при рассмотрения частного случая линейной функции, применимы и для функции произвольной природы, а в качестве прироста используется не единица, а бесконечно малая, что в свою очередь следует из определения производной функции. Прирост же внутренней функции ${\displaystyle g(x+\Delta x)}$, возникающий в связи с приростом её аргумента "измерим" теперь уже бесконечно малым "мерилом", поскольку, всё также по свойству дифференцируемой функции, бесконечно малый прирост аргумента ${\displaystyle g}$ — ${\displaystyle x+\Delta x}$ будет давать бесконечно малый прирост функции ${\displaystyle g}$.

Тогда, умножив прирост функции ${\displaystyle f}$ при единичном бесконечно малом приросте аргумента, то есть ${\displaystyle g(x)+\Delta x}$ на фактическое количество бесконечно малого прироста ${\displaystyle g}$ при бесконечно малом приросте её аргумента ${\displaystyle x+\Delta x}$, и поделив оба множителя на ${\displaystyle \Delta x}$ получим скорость ${\displaystyle f}$ относительно ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (h(x))'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\dfrac {f(g(x)+\Delta x)-f(g(x))}{\Delta x}}\times \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\dfrac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}}$

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, ${\displaystyle f:U(x_{0})\to V(y_{0}),}$ где ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$ и ${\displaystyle g:V(y_{0})\to \mathbb {R} }$ Пусть также эти функции дифференцируемы: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}$ Тогда их композиция также дифференцируема: ${\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),}$ и её производная имеет вид^[2]:

${\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}$

Доказательство:

Так как ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ дифференцируема, то можно записать её приращение как:

${\displaystyle \Delta f(x_{0})=f'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x)}$

Где:

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}o(\Delta x)=0}$

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {o(\Delta x)}{\Delta x}}=0}$

${\displaystyle \Delta y_{0}=\Delta f(x_{0})}$

И так как ${\displaystyle g}$ тоже дифференцируема, где ${\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}$, то:

${\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}o(\Delta y)=0}$

${\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {o(\Delta y)}{\Delta y}}=0}$

${\displaystyle \Delta g(y_{0})=g'(y_{0})\Delta y_{0}+o(\Delta y)=g'(y_{0})(f'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x))+o(\Delta y)}$

Разделив обе части на ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle \Delta x\longrightarrow 0}$, получаем:

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta g(y_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}g'(y_{0})f'(x_{0})+g'(y_{0}){\frac {o(\Delta x)}{\Delta x}}+{\frac {o(\Delta y)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}g'(f(x_{0}))f'(x_{0})}$

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции ${\displaystyle y=y(x),}$ где ${\displaystyle x=x(t),}$ принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}$

Дифференциал функции ${\displaystyle z=g(y)}$ в точке ${\displaystyle y_{0}}$ имеет вид:

${\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy,}$

где ${\displaystyle dy}$ — дифференциал тождественного отображения ${\displaystyle y\to y_{0}}$:

${\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .}$

Пусть теперь ${\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).}$ Тогда ${\displaystyle dy=f'(x_{0})\,dx}$, и согласно цепному правилу:

${\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.}$

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пусть ${\displaystyle h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;}$ Тогда функция ${\displaystyle h\;}$ может быть записана в виде композиции ${\displaystyle h=g\circ f,}$ где

${\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}$

${\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}$

Дифференцируя эти функции отдельно:

${\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}$

${\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}$

получаем

${\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).}$

Пусть дана точка ${\displaystyle t=(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ и в этой точке заданы дифференцируемые функции ${\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t),\ i={\overline {1,m}}}$. Тогда функция ${\displaystyle u=f(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle t=(t_{1},\ldots ,t_{n})}$, и её частные производные по ${\displaystyle t_{i},\ i={\overline {1,n}}}$ выражаются следующим образом^[2]:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t_{i}}}=\sum _{j=1}^{m}{{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial t_{i}}}}={\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial t_{i}}}+{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial t_{i}}}+\ldots +{\frac {\partial u}{\partial x_{m}}}{\frac {\partial x_{m}}{\partial t_{i}}}.}$

Её дифференциал можно определить как:

${\displaystyle \mathrm {d} u=\sum _{k=1}^{n}{A_{k}\mathrm {d} t_{k}}}$, где ${\displaystyle A_{k}={\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial t_{k}}}+\ldots +{\frac {\partial u}{\partial x_{m}}}{\frac {\partial x_{m}}{\partial t_{k}}}}$

В частности, матрица Якоби функции ${\displaystyle u}$ является произведением матриц Якоби функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{n})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}={\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\cdot {\frac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}.}$

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

  ${\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{n})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\right\vert .}$

Пусть дана функция трёх переменных ${\displaystyle h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;}$ и требуется найти её частную производную по переменной ${\displaystyle x}$. Функция ${\displaystyle h}$ может быть записана как ${\displaystyle h(x,y,z)=f(u,v,w),}$ где

${\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}$

${\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}$

${\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}$

${\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}$

Тогда частная производная функции ${\displaystyle h}$ по переменной ${\displaystyle x}$ будет иметь следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

Вычисляем производные:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}$

Подставляем найденные производные:

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x+2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}+1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}$

В итоге

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}$

• Формула Фаа-ди-Бруно
• Производная функции