Примарный идеал

Примарный идеал — собственный идеал ${\displaystyle Q}$ коммутативного кольца ${\displaystyle A}$, для любого элемента вида ${\displaystyle xy}$ которого либо ${\displaystyle x}$, либо ${\displaystyle y^{n}}$ для некоторого ${\displaystyle n>0}$ также является элементом ${\displaystyle Q}$. Например, в кольце целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ идеал примарен тогда и только тогда, когда он имеет вид ${\displaystyle (p^{n})}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число.

Примарные идеалы имеют важное значение в коммутативной алгебре, поскольку любой идеал нётерова кольца имеет примарное разложение, то есть может быть записан как пересечение конечного числа примарных идеалов — этот результат известен как теорема Ласкера — Нётер.

Любой простой идеал является примарным. Идеал примарен тогда и только тогда, когда в факторкольце по нему любой делитель нуля является нильпотентным.

Если ${\displaystyle Q}$ — примарный идеал, то его радикал ${\displaystyle P}$ является простым. В этом случае ${\displaystyle Q}$ называется ${\displaystyle P}$-примарным. Если ${\displaystyle P}$ — максимальный простой идеал, то любая степень ${\displaystyle P}$ — примарный идеал. Однако не все ${\displaystyle P}$-примарные идеалы являются степенями ${\displaystyle P}$, например, идеал ${\displaystyle (x,y^{2})}$ является ${\displaystyle P}$-примарным для ${\displaystyle P=(x,y)}$ в кольце ${\displaystyle k[x,y]}$, но не является степенью ${\displaystyle P}$.

Для простого идеала ${\displaystyle P}$ нётерова кольца ${\displaystyle A}$ ядро ${\displaystyle A\to A_{P}}$ — отображения из ${\displaystyle A}$ в его локализацию по идеалу ${\displaystyle P}$ — является пересечением всех ${\displaystyle P}$-примарных идеалов^[1].

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003 . — ISBN 5-88688-067-4.
• Gorton C., Heatherly H. Generalized primary rings and ideals (англ.) // Math. Pannon.. — 2006. — Vol. 17, iss. 1. — P. 17–28. — ISSN 0865-2090.