Проекция вектора

Прое́кция ве́ктора на подпространство^{[комм 1]} (англ. projection of a vector along a subspace^[1]) в евклидовом пространстве — вектор, начало и конец которого суть пересечение с данным подпространством двух параллельных подпространств, проходящих соответственно через начало и конец данного вектора. Под проекцией вектора на подпространство также понимается длина этого вектора, которая в случае одномерного ориентированного подпространства может быть отрицательной.

В литературе встречаются следующие частные случаи проекцией вектора на подпространство: проекция вектора на прямую на плоскости, проекции вектора на прямую и плоскость в трёхмерном пространстве, ортогональная проекция вектора на ось в трёхмерном пространстве.

Задача о нахождении проекции вектора на подпространство имеет широкий спектр применения в математике: в методе ортогонализации Грама ― Шмидта, методе наименьших квадратов, методе сопряженных градиентов, анализе Фурье.

Пусть ${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {AB}}}$ — произвольный вектор на евклидовой плоскости ${\displaystyle \mathbb {E^{2}} }$, ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ — две непараллельные прямые (в смысле пересекающиеся в одной точке^[2]) на плоскости, ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle B'}$ — точки пересечения с прямой ${\displaystyle l}$ прямых, параллельных прямой ${\displaystyle m}$ и проходящих соответственно через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$^[3][4].

Векторная проекция^[5], или геометрическая проекция^[6], вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на прямую (англ. projection of a vector on a line^[7]) ${\displaystyle l}$ параллельно прямой ${\displaystyle m}$ — вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {A'B'}}}$^[3][4][5][6]. Обозначения^[8][3][5]:

${\displaystyle {\overrightarrow {A'B'}}={\overrightarrow {\Pi {\text{p}}}}_{l}{\overrightarrow {AB}}(\|m)={\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$.

Параллельность прямых здесь понимается в том смысле, что прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Так определённая параллельность прямых отношение параллельности есть отношение эквивалентности, и его классы называются направлениями^[2].

Проекция вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$ зависит только от направления прямых ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$, другими словами, эти прямые можно заменить на параллельные. Следовательно, можно говорить не о проекции на прямую ${\displaystyle l}$, а о проекции на направление прямой ${\displaystyle l}$^[9].

Проекция^[5], или скалярная проекция^[5], или алгебраическая проекция^[6], вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — числовая величина, равная модулю векторной проекции ${\displaystyle |{\overrightarrow {A'B'}}|}$^[4][5]. Обозначения^[8][5]:

${\displaystyle |{\overrightarrow {A'B'}}|=\Pi {\text{p}}_{l}{\overrightarrow {AB}}(\|m)=\operatorname {pr_{l}^{m}} \mathbf {a} }$.

Векторная проекция вектора — это вектор, а скалярная проекция — число^[10].

Прямоугольная, или ортогональная, проекция вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на прямую ${\displaystyle l}$ параллельно прямой ${\displaystyle m}$ — векторная проекция вектора, когда прямые ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ перпендикулярны^[8]. Обозначения^[5][6]:

${\displaystyle {\overrightarrow {A'B'}}={\overrightarrow {\Pi {\text{p}}}}_{l}{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}} }}\mathbf {a} =\mathbf {a} _{l}}$.

Для проверки корректности определения проекции доказывается, что вектор проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$ не зависит от выбора точек ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ и направленного отрезка ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$, представляющего вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$^[3].

Можно доказать корректность определения с помощью прямого геометрического построения, но здесь это будет доказано алгебраическим способом, что позволяет согласовать проекции и координаты^[3].

Линейные пространства ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{l}(1)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{m}(1)}$ всех векторов на пересекающихся прямых соответственно ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$, рассматриваемые как подпространства линейного пространства ${\displaystyle \operatorname {Vect} (2)}$ всех векторов плоскости, пересекаются только по нулевому вектору. Это вспомогательное утверждение будет использовано ниже^[3].

Пусть

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} '_{1}+\mathbf {a} '_{2}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} '_{1}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{2},\mathbf {a} '_{2}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$^{[комм 2]},

тогда

${\displaystyle \mathbf {a} '_{1}-\mathbf {a} _{1}=\mathbf {a} _{2}-\mathbf {a} '_{2}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} '_{1}-\mathbf {a} _{1}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{2}-\mathbf {a} '_{2}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$,

и

${\displaystyle \mathbf {a} '_{1}-\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}-\mathbf {a} '_{2}\in \operatorname {Vect} _{l}(1),\operatorname {Vect} _{m}(1)}$,

то есть, по вспомогательному утверждению выше,

${\displaystyle \mathbf {a} '_{1}-\mathbf {a} _{1}=\mathbf {a} _{2}-\mathbf {a} '_{2}=0}$,

следовательно, окончательно получаем^[9]:

${\displaystyle \mathbf {a} '_{1}=\mathbf {a} _{1}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} '_{2}=\mathbf {a} _{2}}$.

Эти рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение, которое обеспечивает единственность суммы двух векторов: если произвольный вектор плоскости представлен как сумма двух векторов

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{1}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{2}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$,

то такое разложение единственно^[3].

Поскольку

${\displaystyle {\overrightarrow {A'A}}+{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {A'B'}}+{\overrightarrow {B'B}}}$,

то имеем следующее разложение вектора^[9]:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {A'B'}}+({\overrightarrow {B'B}}-{\overrightarrow {A'A}})}$.

Так как ${\displaystyle {\overrightarrow {A'A}},{\overrightarrow {B'B}}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$, то также и ${\displaystyle {\overrightarrow {B'B}}-{\overrightarrow {A'A}}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$, а поскольку ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} ={\overrightarrow {A'B'}}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, следовательно, разложение вектора

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {A'B'}}+({\overrightarrow {B'B}}-{\overrightarrow {A'A}})}$

имеет вид разложения

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{1}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{2}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$,

то есть однозначно определено по теореме 1. В частности, вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} ={\overrightarrow {A'B'}}}$ однозначно определён вектором ${\displaystyle a}$^[9].

Эти рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение, которое удостоверяет корректность определения проекции: вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} ={\overrightarrow {A'B'}}}$ однозначно определён вектором ${\displaystyle \mathbf {a} }$, то есть определение проекции корректно^[9].

Сразу получаем первое следствие: в разложении

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{1}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{2}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$

вектор ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ совпадает со следующей проекцией^[9]:

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} ={\overrightarrow {A'B'}}}$.

По аналогичным соображениям имеем второе следствие: в разложении

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{1}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {a} _{2}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$

вектор ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ совпадает с проекцией ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{m}^{l}} }}\mathbf {a} }$ вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на прямую ${\displaystyle m}$ параллельно прямой ${\displaystyle l}$^[9].

Получаем следующую обобщающую теорему: произвольный вектор плоскости ${\displaystyle \mathbf {a} \in \operatorname {Vect} (2)}$ разлагается на сумму двух векторов

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} +{\overrightarrow {\operatorname {pr_{m}^{l}} }}\mathbf {a} }$,

причём для проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$ вектор ${\displaystyle \mathbf {a} -{\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$ и прямая ${\displaystyle m}$ параллельны, что однозначно определяет проекцию ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$^[9].

Так как направление прямой ${\displaystyle l}$ однозначно определяется любым базисом ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ линейного пространства ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{l}(1)}$, то есть любым ненулевым вектором, параллельным прямой ${\displaystyle l}$, то проекция ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$ также называется проекцией на направление вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$^[9].

Точно так же направление прямой ${\displaystyle m}$ однозначно определяется любым базисом ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ линейного пространства ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{m}(1)}$, и та же самая проекция ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$ называется также проекцией параллельно вектору ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, или проекцией по направлению вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$^[11].

Вместо прямых ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ будем рассматривать векторы ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, тогда обозначение проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{m}} }}\mathbf {a} }$ заменится на ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} }$. Два этих вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ образуют базис на плоскости, поскольку они неколлинеарны, другими словами, линейно независимы. В итоге получаем следующую теорему («теорему о векторной проекции»^[12]): задание на плоскости любого базиса ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ дает возможность поставить в соответствие любому вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$ плоскости пару векторов

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} \,\,}$ и ${\displaystyle \,\,{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} }$,

которые суть проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на направление одного из векторов базиса по направлению другого вектора, причём их сумма равна вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$^[11]:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} +{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} }$.

Сравним последнее разложение вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ по проекциям с его следующим разложением по векторам базиса^[11]:

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}}$.

Так как ${\displaystyle a^{1}\mathbf {e} _{1}\in \operatorname {Vect} _{l}(1)}$ и ${\displaystyle a^{2}\mathbf {e} _{2}\in \operatorname {Vect} _{m}(1)}$, оба эти разложения вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ совпадают:

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} =a^{1}\mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} =a^{2}\mathbf {e} _{2}}$,

в итоге получаем следующую теорему (также «теорему о векторной проекции»^[12]): первая координата ${\displaystyle a^{1}}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в базисе плоскости ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ вычисляется как частное двух коллинеарных векторов — проекции на направление вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ по направлению вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ и вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$^[11]:

${\displaystyle a^{1}={\frac {{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} }{\mathbf {e} _{1}}}}$.

Если взять вектор ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ в качестве эталона длины и направления на прямой ${\displaystyle l}$, то последнюю теорему можно переформулировать следующим образом: первая координата ${\displaystyle a^{1}}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в базисе плоскости ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ вычисляется как величина проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на направление вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ по направлению вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ и вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$:

${\displaystyle a^{1}=\operatorname {pr} _{e_{1}}^{e_{2}}\mathbf {a} }$, если векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ сонаправлены;

${\displaystyle a^{1}=-\operatorname {pr} _{e_{1}}^{e_{2}}\mathbf {a} }$, если векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ противоположно направлены^[11].

Те же самые рассуждения верны и для второй координаты ${\displaystyle a^{2}}$^{[комм 2]}. В частности, получаем: ${\displaystyle a^{2}=\operatorname {pr} _{e_{2}}^{e_{1}}\mathbf {a} }$, если векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ сонаправлены;

${\displaystyle a^{2}=-\operatorname {pr} _{e_{2}}^{e_{1}}\mathbf {a} }$, если векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ противоположно направлены^[11].

В отличие от плоскости, в трёхмерном пространстве возможны два вида проекций^[11]: проекция на плоскость параллельно прямой и проекция на прямую параллельно плоскости.

Пусть ${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {AB}}}$ — произвольный вектор в евклидовом трёхмерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {E^{3}} }$, ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle l}$ — плоскость и не параллельная ей прямая (в смысле пересекающиеся в одной точке^[2]) в пространстве, ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$ — точки пересечения с прямой ${\displaystyle l}$ плоскостей, параллельных плоскости ${\displaystyle \alpha }$ и проходящих соответственно через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$^[13][8].

Векторная проекция^[5], или геометрическая проекция^[6], вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на прямую (англ. projection of a vector on a line^[7]) ${\displaystyle l}$ параллельно плоскости ${\displaystyle \alpha }$ — вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}}$^{[13][8][5][6]}. Обозначения^[8][3][5]:

${\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}={\overrightarrow {\Pi {\text{p}}}}_{l}{\overrightarrow {AB}}(\|\alpha )={\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }}\mathbf {a} }$.

Проекция^[5], или скалярная проекция^[5], или алгебраическая проекция^[6] вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — числовая величина, равная модулю векторной проекции ${\displaystyle |{\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}|}$^[8][5]. Обозначения^[8][5]:

${\displaystyle |{\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}|=\Pi {\text{p}}_{l}{\overrightarrow {AB}}(\|\alpha )=\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} \mathbf {a} }$.

Прямоугольная, или ортогональная, проекция вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на прямую ${\displaystyle l}$ параллельно плоскости ${\displaystyle \alpha }$ — векторная проекция вектора, когда прямая ${\displaystyle l}$ и плоскость ${\displaystyle \alpha }$ перпендикулярны^[8]. Обозначения^[5][6]:

${\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}={\overrightarrow {\Pi {\text{p}}}}_{l}{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}} }}\mathbf {a} =\mathbf {a} _{l}}$.

Аналогично, ${\displaystyle A_{2}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ — точки пересечения с плоскостью ${\displaystyle \alpha }$ прямых, параллельных прямой ${\displaystyle l}$ и проходящих соответственно через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$^[13].

Векторная проекция^[5], или геометрическая проекция^[6], вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на плоскость (англ. projection of a vector on a plane^[14]) ${\displaystyle \alpha }$ параллельно прямой ${\displaystyle l}$ — вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}}$^[3]. Обозначения^[8][13][5]:

${\displaystyle {\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\overrightarrow {\Pi {\text{p}}}}_{\alpha }{\overrightarrow {AB}}(\|l)={\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }}\mathbf {a} }$.

Проекция^[5], или скалярная проекция^[5], или алгебраическая проекция^[6] вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — числовая величина, равная модулю векторной проекции ${\displaystyle |{\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}|}$^[8][5]. Обозначения^[8][5]:

${\displaystyle |{\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}|=\Pi {\text{p}}_{\alpha }{\overrightarrow {AB}}(\|l)=\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} \mathbf {a} }$.

Прямоугольная, или ортогональная, проекция вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на плоскость ${\displaystyle \alpha }$ параллельно прямой ${\displaystyle l}$ — векторная проекция вектора, когда плоскость ${\displaystyle \alpha }$ и прямая ${\displaystyle l}$ перпендикулярны^[8]. Обозначения^[5][6]:

${\displaystyle {\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\overrightarrow {\Pi {\text{p}}}}_{\alpha }{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }} }}\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\alpha }}$.

Следующая теорема и её доказательство полностью аналогичны соответствующей теореме и её доказательству в случаю проекций на плоскости. И точно также доказательство может быть проведено как прямым геометрическим построением, так и алгебраическим способом, который позволяет согласовать проекции и координаты: любой вектор трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbf {a} \in \operatorname {Vect} (3)}$ разлагается на сумму двух векторов

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }}\mathbf {a} +{\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }}\mathbf {a} }$,

причём для проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }}\mathbf {a} }$ вектор ${\displaystyle \mathbf {a} -{\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }}\mathbf {a} }$ и плоскость ${\displaystyle \alpha }$ параллельны, а для проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }}\mathbf {a} }$ вектор ${\displaystyle \mathbf {a} -{\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }}\mathbf {a} }$ и прямая ${\displaystyle l}$ параллельны, что однозначно определяет проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }}\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }}\mathbf {a} }$^[13].

Эта теорема обеспечивает, в частности, корректность определения обеих проекций в трёхмерном пространстве^[13].

Рассматриваемые проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }}\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }}\mathbf {a} }$ зависят лишь от направлений прямой ${\displaystyle l}$ и плоскости ${\displaystyle \alpha }$, другими словами, они не изменяются при замене прямой и плоскости им параллельными. Следовательно, вместо прямой ${\displaystyle l}$ достаточно задать любой её базис ${\displaystyle e_{1}}$, а вместо плоскости ${\displaystyle \alpha }$ — любой её базис ${\displaystyle e_{2}}$, ${\displaystyle e_{3}}$. Тогда обозначение проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }}\mathbf {a} }$ перепишется как ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{1},\,e_{2}}} }}\mathbf {a} }$, а проекция ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }}\mathbf {a} }$ — как ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1},\,e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} }$^[13].

Имеем следующую теорему: проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{1},\,e_{2}}} }}\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1},\,e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} }$ определены тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$, ${\displaystyle e_{3}}$ образуют базис трёхмерного пространства. Далее, пусть ${\displaystyle a^{1}}$, ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle a^{3}}$ — координаты вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в базисе ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$, ${\displaystyle e_{3}}$, то есть

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{1}e_{1}+a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}}$,

тогда верны следующие формулы^[13]:

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{1},\,e_{2}}} }}\mathbf {a} =a^{1}e_{1}}$, ${\displaystyle \quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1},\,e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} =a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}}$.

В частности, получаем следующую теорему («теорему о векторной проекции»^[12]): первая координата ${\displaystyle a^{1}}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в базисе трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ вычисляется как частное двух коллинеарных векторов — проекции на направление вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ параллельно векторам ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ и вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$^[15]:

${\displaystyle a^{1}={\frac {{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2},\,e_{3}}} }}\mathbf {a} }{\mathbf {e} _{1}}}}$.

Те же самые рассуждения верны и для остальных двух координат. В частности, получаем^[15]:

${\displaystyle a^{2}={\frac {{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1},\,e_{3}}} }}\mathbf {a} }{\mathbf {e} _{2}}}}$, ${\displaystyle \quad a^{3}={\frac {{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{3}}^{e_{1},\,e_{2}}} }}\mathbf {a} }{\mathbf {e} _{3}}}}$.

Из рассмотренной связи проекций с координатами непосредственно вытекают следующие свойства проекции, которые относятся ко всем трём видам проекций ${\displaystyle \operatorname {pr_{l}^{m}} }$, ${\displaystyle \operatorname {pr_{l}^{\alpha }} }$ и ${\displaystyle \operatorname {pr_{\alpha }^{l}} }$^[15].

«Теорема 1» об общих проекциях вектора состоит в том, что проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов, то есть верны следующие соотношения^{[8][15][16][17]}:

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr} }}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )={\overrightarrow {\operatorname {pr} }}\,\mathbf {a} +{\overrightarrow {\operatorname {pr} }}\,\mathbf {b} }$,

${\displaystyle \operatorname {pr} (\mathbf {a} +\mathbf {b} )=\operatorname {pr} \mathbf {a} +\operatorname {pr} \mathbf {b} }$.

«Теорема 2» об общих проекциях вектора состоит в том, что проекция произведения числа на вектор равна произведению данного числа на проекцию данного вектора, то есть верны следующие соотношения^{[8][15][16][18]}:

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr} }}(x\mathbf {a} )=x\,{\overrightarrow {\operatorname {pr} }}\,\mathbf {a} }$,

${\displaystyle \operatorname {pr} (x\mathbf {a} )=x\operatorname {pr} \mathbf {a} }$.

Из теорем 1 и 2 извлекается следующее следствие: проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, то есть верны следующие соотношения^[8][19]:

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr} }}(x_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{k}\mathbf {a} _{k})=x_{1}{\overrightarrow {\operatorname {pr} }}\,\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{k}{\overrightarrow {\operatorname {pr} }}\,\mathbf {a} _{k}}$,

${\displaystyle \operatorname {pr} (x_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{k}\mathbf {a} _{k})=x_{1}\operatorname {pr} \,\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{k}\operatorname {pr} \,\mathbf {a} _{k}}$.

1. Скалярная проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью^[20][21].
2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ось^{[15][8][16][17]}.
3. Проекция произведения числа на вектор на ось равна произведению данного числа на проекцию данного вектора на ось^[15][8][18].
4. Проекция линейной комбинации векторов на ось равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов на ось^[19].

1. ↑ Термин «проекция вектора на подпространство» в английской Википедии ни в каком виде не встречается.
2. ↑ ^{1 2} Исправленная опечатка в источнике.

1. ↑ Seymour Lipschutz. Schaum's Outline of Linear Algebra, 2009, 7.6 Orthogonal Sets and Bases. Projections, p. 235.
2. ↑ ^{1 2 3} Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. 1*. Понятие вектора. 3. Окончательное определение вектора, с. 17.
3. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9} Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. 3*. Линейные операции над векторами… 6. Проекции и координаты, с. 50.
4. ↑ ^{1 2 3} Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Проекции, с. 348.
5. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава II. Теория проекций. Прямоугольные координаты. § 1. Проекции векторов на ось, с. 33.
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11} Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 92. Проекция вектора на ось, с. 125.
7. ↑ ^{1 2} Louis Brand. Vector and tensor analysis, 1948, 15. Scalar Product, p. 30.
8. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18} Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Проекции, с. 347.
9. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9} Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. 3*. Линейные операции над векторами… 6. Проекции и координаты, с. 51.
10. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 92. Проекция вектора на ось, с. 127.
11. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. 3*. Линейные операции над векторами… 6. Проекции и координаты, с. 52.
12. ↑ ^{1 2 3} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава II. Теория проекций. Прямоугольные координаты. § 1. Проекции векторов на ось, с. 34.
13. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. 3*. Линейные операции над векторами… 6. Проекции и координаты, с. 53.
14. ↑ Louis Brand. Vector and tensor analysis, 1948, 16. Vector Product, p. 34.
15. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. 3*. Линейные операции над векторами… 6. Проекции и координаты, с. 54.
16. ↑ ^{1 2 3} Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 93. Основные теоремы о проекциях вектора, с. 127.
17. ↑ ^{1 2} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава II. Теория проекций. Прямоугольные координаты. § 2. Основные теоремы о скалярных проекциях, с. 36.
18. ↑ ^{1 2} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава II. Теория проекций. Прямоугольные координаты. § 2. Основные теоремы о скалярных проекциях, с. 37.
19. ↑ ^{1 2} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава II. Теория проекций. Прямоугольные координаты. § 2. Основные теоремы о скалярных проекциях, с. 38.
20. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 93. Основные теоремы о проекциях вектора, с. 128.
21. ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава II. Теория проекций. Прямоугольные координаты. § 2. Основные теоремы о скалярных проекциях, с. 34.

• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.. Математический словарь высшей школы: Общая часть (рус.) / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике (рус.). — 12-е, стереотип. — М.: «Наука», 1977. — 871 с., ил. — 150 000 тыс. экз.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления (рус.). — М.: «Наука», 1975. — 336 с., ил. — 35 000 экз.
• Постников М. М. Аналитическая геометрия (рус.). — М.: «Наука», 1973. — 751 с., ил.
• Louis Brand. Vector and tensor analysis (англ.). — Third Printing. — New York · London: John Wiley & Sons · Chapman & Hall, 1948. — xvi+439 p.
• Seymour Lipschutz, Marc Lars Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra (англ.). — Fourth edition. — New York: McGraw-Hill Book Company, 2009. — VI+425 p. — (Schaum’s Outline Series). — ISBN 978-0-07-154353-8.